Équations et Inéquations avec |x|

Équations avec |x|

|x| = 5

x = 5 ou x = -5

x = ±5

|x| = 0

x = 0

Uniquement solution

|x| = -3

Impossible

|x| ≥ 0 pour tout x

|x - 2| = 3

x = 5 ou x = -1

x - 2 = 3 ou x - 2 = -3

|x| = a (a > 0) ⟺ x = a ou x = -a
|x| = 0 ⟺ x = 0
|x| = a (a < 0) ⟺ pas de solution

Inéquations avec |x|

|x| < 4

-4 < x < 4

x ∈ ]-4, 4[

|x| ≤ 3

-3 ≤ x ≤ 3

x ∈ [-3, 3]

|x| > 2

x < -2 ou x > 2

x ∈ ]-∞, -2[ ∪ ]2, +∞[

|x - 1| ≤ 2

-1 ≤ x ≤ 3

-2 ≤ x-1 ≤ 2

|x| < a ⟺ -a < x < a
|x| ≤ a ⟺ -a ≤ x ≤ a
|x| > a ⟺ x < -a ou x > a
|x| ≥ a ⟺ x ≤ -a ou x ≥ a

🎯 |x| < a → intervalle centré

🎯 |x| > a → deux intervalles extérieurs

Représentation Graphique

|x - a| < r ⟺ a - r < x < a + r
|x - a| ≤ r ⟺ a - r ≤ x ≤ a + r
|x - a| > r ⟺ x < a - r ou x > a + r

⚠️ |x| < -2 a des solutions (faux! |x| ≥ 0)

⚠️ |x| = a a toujours 2 solutions (faux si a ≤ 0)

⚠️ Oublier les cas dans les équations complexes