Définition
\(|x| = \begin{cases}
x & \text{si } x \geq 0 \\
-x & \text{si } x < 0
\end{cases}\)
|5| = 5
5 ≥ 0 donc |5| = 5
|-3| = 3
-3 < 0 donc |-3| = -(-3) = 3
|0| = 0
0 = 0 donc |0| = 0
|√2| = √2
√2 > 0 donc |√2| = √2
Interprétation Géométrique
|x| = distance de x à 0 sur la droite numérique
|a-b| = distance entre a et b
|a-b| = distance entre a et b
Propriétés Essentielles
Positivité: |x| ≥ 0 pour tout x
Parité: |−x| = |x|
Produit: |xy| = |x||y|
Quotient: |x/y| = |x|/|y| (y≠0)
Inégalité triangulaire: |x+y| ≤ |x|+|y|
Autres Propriétés
|x|² = x²
√(x²) = |x|
|x| = 0 ⟺ x = 0
|x| = a ⟺ x = a ou x = -a (a > 0)
√(x²) = |x|
|x| = 0 ⟺ x = 0
|x| = a ⟺ x = a ou x = -a (a > 0)
Mémo Visuel
🎯 La valeur absolue "efface" le signe
🎯 Distance toujours positive
Représentation Graphique
Équations et Inéquations
|x| = a ⟺ x = a ou x = -a (a > 0)
|x| < a ⟺ -a < x < a (a > 0)
|x| > a ⟺ x < -a ou x > a (a > 0)
|x| < a ⟺ -a < x < a (a > 0)
|x| > a ⟺ x < -a ou x > a (a > 0)
Erreurs Fréquentes
⚠️ |x| = -x (faux! |x| = -x seulement si x ≤ 0)
⚠️ |x+y| = |x|+|y| (faux! |x+y| ≤ |x|+|y|)
⚠️ √(x²) = x (faux! √(x²) = |x|)
Applications
- Distance entre deux points
- Encadrements
- Équations et inéquations
- Calculs d'erreurs
- Optimisation
