La valeur absolue d'un nombre est sa distance à zéro sur la droite numérique, sans tenir compte du signe.

• 1 |3| = 3 : le point 3 est à 3 unités de zéro
• 2 |-3| = 3 : le point -3 est aussi à 3 unités de zéro
• 3 |0| = 0 : le point 0 est à 0 unité de zéro

La valeur absolue de la différence entre deux nombres est la distance entre ces deux points :

Par exemple : |5 - 2| = |3| = 3, la distance entre 5 et 2 est 3.

Pour tout nombre réel x :

La valeur absolue est toujours positive ou nulle.

Pour tout nombre réel x :

La valeur absolue est nulle si et seulement si le nombre est nul.

Pour tout nombre réel x :

Des nombres opposés ont la même valeur absolue.

Pour tous nombres réels a et b :

La valeur absolue d'un produit est le produit des valeurs absolues.

Exemple : |(-3) × 4| = |-12| = 12 et |−3| × |4| = 3 × 4 = 12

Pour tous nombres réels a et b avec b ≠ 0 :

La valeur absolue d'un quotient est le quotient des valeurs absolues.

Exemple : |(-6) ÷ 2| = |-3| = 3 et |−6| ÷ |2| = 6 ÷ 2 = 3

Pour tous nombres réels a et b :

La valeur absolue d'une somme est inférieure ou égale à la somme des valeurs absolues.

L'égalité \( |a + b| = |a| + |b| \) est atteinte si et seulement si a et b sont de même signe (ou l'un d'eux est nul).

Exemples :

• |3 + 5| = |8| = 8 et |3| + |5| = 3 + 5 = 8 (égalité)
• |3 + (-2)| = |1| = 1 et |3| + |−2| = 3 + 2 = 5 (inégalité stricte)

• 1 |7| = 7 (car 7 ≥ 0)
• 2 |-4| = -(-4) = 4 (car -4 < 0)
• 3 |0| = 0
• 4 |−(−5)| = |5| = 5

• 1 |3 - 8| = |-5| = 5
• 2 |(-2) × (-6)| = |12| = 12, et |−2| × |−6| = 2 × 6 = 12 ✓
• 3 |10 ÷ (-2)| = |-5| = 5, et |10| ÷ |−2| = 10 ÷ 2 = 5 ✓

La valeur absolue est utilisée pour mesurer des distances sans tenir compte du sens :

• Distance entre deux villes sur une route droite
• Différence de température (sans tenir compte de si elle monte ou descend)
• Écart entre une mesure et une référence

La valeur absolue est essentielle pour exprimer des erreurs ou écarts :

• Erreur absolue dans les mesures scientifiques
• Écart-type dans les statistiques
• Norme d'un vecteur en géométrie

La valeur absolue est utilisée dans de nombreux domaines informatiques :

• Algorithmes de tri et recherche
• Calculs de similarité entre données
• Jeux vidéo pour les collisions et distances

Pour résoudre l'équation |x| = a, on distingue deux cas :

• Si a < 0 : l'équation n'a pas de solution (car |x| ≥ 0)
• Si a = 0 : l'équation a une solution unique x = 0
• Si a > 0 : l'équation a deux solutions x = a et x = -a

Exemple : |x| = 5 ⇒ x = 5 ou x = -5

Ces équations signifient que la distance entre x et c est égale à a :

Exemple : |x - 3| = 7 ⇒ x - 3 = 7 ou x - 3 = -7 ⇒ x = 10 ou x = -4

1. |−8| = 8
2. |5 − 12| = |−7| = 7
3. |−3 × 4| = |−12| = 12, et |−3| × |4| = 3 × 4 = 12 ✓
4. |7| + |−2| = 7 + 2 = 9

1. |x| = 3 ⇒ x = 3 ou x = -3
2. |x - 2| = 5 ⇒ x - 2 = 5 ou x - 2 = -5 ⇒ x = 7 ou x = -3
3. |x + 1| = 0 ⇒ x + 1 = 0 ⇒ x = -1
4. |2x - 4| = 6 ⇒ 2x - 4 = 6 ou 2x - 4 = -6 ⇒ 2x = 10 ou 2x = -2 ⇒ x = 5 ou x = -1

1. 1 Identifier le signe du nombre à l'intérieur de la valeur absolue
2. 2 Appliquer la définition : si positif ou nul, garder tel quel, si négatif, prendre l'opposé
3. 3 Conclure que le résultat est positif ou nul

1. 1 Identifier la forme de l'équation (|x| = a, |x - c| = a, etc.)
2. 2 Vérifier si a ≥ 0 (sinon pas de solution)
3. 3 Transformer en deux équations sans valeur absolue
4. 4 Résoudre les deux équations
5. 5 Vérifier les solutions trouvées

• 1 Penser que |−x| = x (faux si x < 0, |−x| = |x|)
• 2 Confondre |a + b| et |a| + |b| (ce n'est pas toujours égal)
• 3 Oublier que |x| ≥ 0 pour tout x réel
• 4 Ne pas vérifier les conditions avant de résoudre une équation

• |−5| = 5 (et non -5)
• |3 + (-7)| = |−4| = 4, mais |3| + |−7| = 3 + 7 = 10
• Si |x| = -2, alors il n'y a pas de solution
• √(x²) = |x| (et non x)

\( |x| = \begin{cases} x & \text{si } x \geq 0 \\ -x & \text{si } x < 0 \end{cases} \)

Représente la distance de x à 0 sur la droite numérique

• \( |x| \geq 0 \) (positivité)
• \( |x| = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) (annulation)
• \( |-x| = |x| \) (symétrie)
• \( |a \times b| = |a| \times |b| \) (produit)
• \( |a + b| \leq |a| + |b| \) (inégalité triangulaire)

• Mesure de distances
• Calculs d'erreurs
• Résolution d'équations
• Modélisation en sciences