Il existe une infinité de nombres premiers.

La preuve par l'absurde d'Euclide montre que si on suppose qu'il n'y a qu'un nombre fini de nombres premiers, on arrive à une contradiction.

Le nombre 2 est le seul nombre premier pair.

Tout autre nombre pair supérieur à 2 est divisible par 2, donc n'est pas premier.

Tout entier naturel supérieur ou égal à 2 peut s'écrire de manière unique comme un produit de nombres premiers.

C'est le théorème fondamental de l'arithmétique.

Pour tester si un nombre n est premier, il suffit de vérifier qu'il n'est divisible par aucun nombre premier inférieur ou égal à √n.

Exemple : Pour tester si 37 est premier, on vérifie qu'il n'est pas divisible par 2, 3, 5 (car √37 ≈ 6,08).

• Ont exactement deux diviseurs : 1 et eux-mêmes
• Ne peuvent pas être décomposés en produit de facteurs plus petits
• Exemples : 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19

• Ont plus de deux diviseurs
• Peuvent être décomposés en produit de facteurs plus petits
• Exemples : 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15

Les nombres 0 et 1 ne sont ni premiers ni composés :

• 0 a une infinité de diviseurs (tout entier non nul le divise)
• 1 n'a qu'un seul diviseur positif (lui-même)

1. 1 Écrire tous les entiers de 2 à n
2. 2 Prendre le premier nombre non barré (2), c'est premier
3. 3 Barrer tous ses multiples (sauf lui-même)
4. 4 Passer au prochain nombre non barré, c'est premier
5. 5 Répéter jusqu'à √n

1. 1 Diviser le nombre par le plus petit nombre premier possible
2. 2 Répéter le processus avec le quotient obtenu
3. 3 Continuer jusqu'à obtenir 1

Exemple : Factorisation de 84

• 84 ÷ 2 = 42
• 42 ÷ 2 = 21
• 21 ÷ 3 = 7
• 7 ÷ 7 = 1
• Donc : 84 = 2² × 3 × 7

84 = 2² × 3 × 7

• 60 ÷ 2 = 30
• 30 ÷ 2 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

• 90 ÷ 2 = 45
• 45 ÷ 3 = 15
• 15 ÷ 3 = 5
• 5 ÷ 5 = 1

• 144 ÷ 2 = 72
• 72 ÷ 2 = 36
• 36 ÷ 2 = 18
• 18 ÷ 2 = 9
• 9 ÷ 3 = 3
• 3 ÷ 3 = 1

Pour simplifier une fraction, on factorise le numérateur et le dénominateur, puis on simplifie les facteurs communs.

Exemple : Simplifions \( \frac{60}{84} \)

• 60 = 2² × 3 × 5
• 84 = 2² × 3 × 7
• \( \frac{60}{84} = \frac{2^2 \times 3 \times 5}{2^2 \times 3 \times 7} = \frac{5}{7} \)

Pour calculer le PGCD et le PPCM de deux nombres :

• PGCD : produit des facteurs communs avec le plus petit exposant
• PPCM : produit de tous les facteurs avec le plus grand exposant

Exemple avec 60 et 84 :

• 60 = 2² × 3 × 5
• 84 = 2² × 3 × 7
• PGCD(60, 84) = 2² × 3 = 12
• PPCM(60, 84) = 2² × 3 × 5 × 7 = 420

La factorisation de grands nombres est au cœur de nombreux systèmes de cryptographie :

• Algorithme RSA (cryptographie asymétrique)
• Clés de sécurité pour les transactions bancaires
• Protocoles de communication sécurisée

1. 17 : Premier car il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4 (√17 ≈ 4,12)
2. 21 : Composé car 21 = 3 × 7
3. 29 : Premier car il n'est divisible ni par 2, ni par 3, ni par 4, ni par 5 (√29 ≈ 5,39)
4. 35 : Composé car 35 = 5 × 7

1. 48 : 48 = 2⁴ × 3
2. 72 : 72 = 2³ × 3²
3. 100 : 100 = 2² × 5²
4. 126 : 126 = 2 × 3² × 7

1. 1 Tester la divisibilité par les nombres premiers dans l'ordre (2, 3, 5, 7, 11...)
2. 2 Diviser le nombre par le premier facteur trouvé
3. 3 Répéter le processus avec le quotient
4. 4 Continuer jusqu'à obtenir un quotient premier
5. 5 Écrire la factorisation complète

• Commencer par les petits nombres premiers (2, 3, 5)
• Arrêter la recherche quand le facteur premier est supérieur à la racine carrée du nombre
• Regrouper les mêmes facteurs en puissances
• Vérifier le résultat en multipliant les facteurs

• 1 Considérer 1 comme premier (il ne l'est pas)
• 2 Oublier que 2 est le seul nombre premier pair
• 3 Ne pas regrouper les facteurs identiques en puissances
• 4 Ne pas vérifier que tous les facteurs sont premiers

• 9 n'est pas premier (9 = 3²)
• 15 n'est pas premier (15 = 3 × 5)
• 25 n'est pas premier (25 = 5²)
• 1 n'est ni premier ni composé

Entier ≥ 2 qui n'admet que deux diviseurs : 1 et lui-même

Écriture d'un nombre comme produit de facteurs (en particulier de facteurs premiers)

• Division successive par les nombres premiers
• Arbre de factorisation
• Crible d'Ératosthène pour trouver les premiers

• Simplification de fractions
• Calcul du PGCD et PPCM
• Cryptographie moderne
• Résolution de problèmes arithmétiques