La valeur absolue x représente la distance de x à 0 sur la droite numérique.
- Identifier ce que représente l'expression dans l'équation
- Traduire en terme de distance sur la droite numérique
- Représenter visuellement si possible
- Donner l'interprétation finale
On a |x| = 3
Cela signifie que la distance de x à 0 est égale à 3
Sur la droite numérique, il y a deux points situés à distance 3 de l'origine : -3 et 3
L'équation |x| = 3 signifie : "x est un point situé à distance 3 de l'origine"
Pour x = 3 : |3| = 3 ✓
Pour x = -3 : |-3| = 3 ✓
Géométriquement, |x| = 3 signifie que x est situé à distance 3 de l'origine 0.
Sur la droite numérique, x = -3 ou x = 3.
• Interprétation géométrique : |x| est la distance de x à 0
• Symétrie : Les points situés à distance r de 0 sont -r et r
• Équivalence : |x| = r ⟺ x = -r ou x = r
La valeur absolue a - b représente la distance entre les points a et b sur la droite numérique.
- Identifier les points concernés dans l'expression
- Traduire |x - a| comme la distance entre x et a
- Interpréter l'équation en terme de distance
On a |x - 2|
Cela représente la distance entre x et 2 sur la droite numérique
|x - 2| = 5 signifie que la distance entre x et 2 est égale à 5
Sur la droite numérique, les points situés à distance 5 du point 2 sont : 2 - 5 = -3 et 2 + 5 = 7
Pour x = -3 : |-3 - 2| = |-5| = 5 ✓
Pour x = 7 : |7 - 2| = |5| = 5 ✓
Géométriquement, |x - 2| = 5 signifie que x est situé à distance 5 du point 2.
Sur la droite numérique, x = -3 ou x = 7.
• Distance entre deux points : |x - a| est la distance entre x et a
• Points à distance fixe : Les points situés à distance r de a sont a - r et a + r
• Équivalence : |x - a| = r ⟺ x = a - r ou x = a + r
On peut réécrire |x + 1| = |x - (-1)|, ce qui représente la distance entre x et -1.
- Réécrire l'expression pour faire apparaître une différence
- Identifier le point de référence
- Interpréter en terme de distance
|x + 1| = |x - (-1)|
Cela représente la distance entre x et -1
|x + 1| = 4 ⟺ |x - (-1)| = 4
Cela signifie que la distance entre x et -1 est égale à 4
Les points situés à distance 4 du point -1 sont : -1 - 4 = -5 et -1 + 4 = 3
Pour x = -5 : |-5 + 1| = |-4| = 4 ✓
Pour x = 3 : |3 + 1| = |4| = 4 ✓
Géométriquement, |x + 1| = 4 signifie que x est situé à distance 4 du point -1.
Sur la droite numérique, x = -5 ou x = 3.
• Réécriture : |x + a| = |x - (-a)|
• Distance : |x - a| est la distance entre x et a
• Points à distance fixe : Les points situés à distance r de a sont a - r et a + r
L'inéquation |x| ≤ r signifie que x est à une distance inférieure ou égale à r de l'origine 0.
- Identifier la distance concernée
- Traduire l'inéquation en terme de distance
- Représenter l'ensemble des solutions
On a |x| ≤ 2
Cela signifie que la distance de x à 0 est inférieure ou égale à 2
Cela signifie que x est dans la "bande" de largeur 2r centrée en 0
Plus précisément, x est dans l'intervalle [-2, 2]
Sur la droite numérique, tous les points entre -2 et 2 (inclus) sont à distance ≤ 2 de l'origine
Pour x = -2 : |-2| = 2 ≤ 2 ✓
Pour x = 0 : |0| = 0 ≤ 2 ✓
Pour x = 2 : |2| = 2 ≤ 2 ✓
Pour x = 3 : |3| = 3 > 2 ✗
Géométriquement, |x| ≤ 2 signifie que x est à distance inférieure ou égale à 2 de l'origine 0.
Sur la droite numérique, x ∈ [-2, 2].
• Interprétation géométrique : |x| ≤ r signifie que x est dans [-r, r]
• Distance : x est à distance ≤ r de 0
• Équivalence : |x| ≤ r ⟺ x ∈ [-r, r]
L'inéquation |x - a| ≤ r signifie que x est à une distance inférieure ou égale à r du point a.
- Identifier le point de référence a et la distance r
- Traduire en terme de distance
- Déterminer l'intervalle correspondant
On a |x - 3| ≤ 1
Cela signifie que la distance entre x et 3 est inférieure ou égale à 1
Cela signifie que x est dans la "bande" de largeur 2r centrée en 3
Plus précisément, x est dans l'intervalle [3 - 1, 3 + 1] = [2, 4]
Sur la droite numérique, tous les points entre 2 et 4 (inclus) sont à distance ≤ 1 du point 3
Pour x = 2 : |2 - 3| = |-1| = 1 ≤ 1 ✓
Pour x = 3 : |3 - 3| = |0| = 0 ≤ 1 ✓
Pour x = 4 : |4 - 3| = |1| = 1 ≤ 1 ✓
Pour x = 5 : |5 - 3| = |2| = 2 > 1 ✗
Géométriquement, |x - 3| ≤ 1 signifie que x est à distance inférieure ou égale à 1 du point 3.
Sur la droite numérique, x ∈ [2, 4].
• Interprétation géométrique : |x - a| ≤ r signifie que x est dans [a - r, a + r]
• Distance : x est à distance ≤ r de a
• Équivalence : |x - a| ≤ r ⟺ x ∈ [a - r, a + r]
La distance entre deux points a et b sur la droite numérique est a - b ou b - a.
Les deux points sont a = -4 et b = 7
Distance = |a - b| = |-4 - 7| = |-11| = 11
Ou alternativement : |b - a| = |7 - (-4)| = |7 + 4| = |11| = 11
La distance entre -4 et 7 est de 11 unités
Sur la droite numérique, pour aller de -4 à 7, on parcourt : 7 - (-4) = 11 unités
La distance entre -4 et 7 est 11.
• Distance entre deux points : |a - b| = |b - a|
• Symétrie : La distance est indépendante de l'ordre des points
• Calcul : |a - b| donne toujours une valeur positive
L'équation |x - a| = |x - b| signifie que x est à égale distance des points a et b.
L'équation |x - 1| = |x - 5| signifie que x est à égale distance des points 1 et 5
Le point équidistant de 1 et 5 est le milieu du segment [1, 5]
Le milieu de [1, 5] est (1 + 5)/2 = 6/2 = 3
Pour x = 3 : |3 - 1| = |2| = 2 et |3 - 5| = |-2| = 2
Donc |3 - 1| = |3 - 5| ✓
Distance de 3 à 1 : |3 - 1| = 2
Distance de 3 à 5 : |3 - 5| = 2
Les distances sont égales ✓
Géométriquement, |x - 1| = |x - 5| signifie que x est équidistant de 1 et 5.
La solution est x = 3 (le milieu de [1, 5]).
• Équidistance : |x - a| = |x - b| ⟺ x est équidistant de a et b
• Milieu : Le point équidistant de a et b est (a + b)/2
• Généralisation : Cela correspond à la médiatrice dans le plan
L'inéquation |x - a| > r signifie que x est à une distance strictement supérieure à r du point a.
On a |x - a| > r
Cela signifie que la distance entre x et a est strictement supérieure à r
Cela signifie que x est à l'extérieur de l'intervalle [a - r, a + r]
Plus précisément, x < a - r ou x > a + r
Sur la droite numérique, x est dans ]-∞, a - r[ ∪ ]a + r, +∞[
Si a = 2 et r = 3, alors |x - 2| > 3 signifie x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]5, +∞[
Pour x = -2 (dans ]-∞, -1[) : |-2 - 2| = |-4| = 4 > 3 ✓
Pour x = 6 (dans ]5, +∞[) : |6 - 2| = |4| = 4 > 3 ✓
Pour x = 0 (dans [-1, 5]) : |0 - 2| = |-2| = 2 ≯ 3 ✗
Géométriquement, |x - a| > r signifie que x est à distance strictement supérieure à r du point a.
Sur la droite numérique, x ∈ ]-∞, a - r[ ∪ ]a + r, +∞[.
• Interprétation géométrique : |x - a| > r signifie que x est à l'extérieur de [a - r, a + r]
• Distance : x est à distance > r de a
• Équivalence : |x - a| > r ⟺ x ∈ ]-∞, a - r[ ∪ ]a + r, +∞[
L'équation |x - a| = |x - b| signifie que x est à égale distance des points a et b.
|x - 2| = |x + 4| = |x - (-4)|
Donc |x - 2| = |x - (-4)|
Cela signifie que x est équidistant des points 2 et -4
Le point équidistant de -4 et 2 est le milieu du segment [-4, 2]
Le milieu de [-4, 2] est (-4 + 2)/2 = -2/2 = -1
Pour x = -1 : |-1 - 2| = |-3| = 3 et |-1 - (-4)| = |-1 + 4| = |3| = 3
Donc |-1 - 2| = |-1 + 4| ✓
Distance de -1 à 2 : |-1 - 2| = 3
Distance de -1 à -4 : |-1 - (-4)| = 3
Les distances sont égales ✓
Géométriquement, |x - 2| = |x + 4| signifie que x est équidistant de 2 et -4.
La solution est x = -1 (le milieu de [-4, 2]).
• Équidistance : |x - a| = |x - b| ⟺ x est équidistant de a et b
• Milieu : Le point équidistant de a et b est (a + b)/2
• Transformation : |x + a| = |x - (-a)|
L'inéquation |x - a| ≤ |x - b| signifie que x est plus proche de a que de b (ou à égale distance).
L'inéquation |x - 3| ≤ |x + 1| signifie que x est plus proche de 3 que de -1 (ou à égale distance)
On résout |x - 3| = |x + 1| (comme dans l'exercice précédent)
Le point équidistant de 3 et -1 est (3 + (-1))/2 = 2/2 = 1
À gauche de 1, x est plus proche de -1 qu'il ne l'est de 3
À droite de 1, x est plus proche de 3 qu'il ne l'est de -1
On veut |x - 3| ≤ |x + 1|, donc x doit être plus proche de 3 que de -1
Cela correspond à x ≥ 1
Pour x = 0 (gauche de 1) : |0 - 3| = 3 et |0 + 1| = 1, donc 3 ≰ 1 ✗
Pour x = 1 (égalité) : |1 - 3| = 2 et |1 + 1| = 2, donc 2 ≤ 2 ✓
Pour x = 2 (droite de 1) : |2 - 3| = 1 et |2 + 1| = 3, donc 1 ≤ 3 ✓
Géométriquement, |x - 3| ≤ |x + 1| signifie que x est plus proche de 3 que de -1.
Sur la droite numérique, x ∈ [1, +∞[.
• Interprétation géométrique : |x - a| ≤ |x - b| signifie que x est plus proche de a que de b
• Point d'égalité : Résoudre |x - a| = |x - b| pour trouver le point de basculement
• Comparaison : x est plus proche de a que de b si x est du côté de a par rapport au point d'égalité
