(a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)
Introduction
BONJOUR ET BIENVENUE !
IDENTITÉS REMARQUABLES
(a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)
Découvrez comment développer et simplifier cette expression complexe
Identités
Développement
Calcul
Rappel des identités remarquables
Les trois identités de base
IDENTITÉS FONDAMENTALES
Les trois formules à connaître
\( (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
\( (a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
\( (a + b)(a - b) = a^2 - b^2 \)
Ces formules sont essentielles pour développer les expressions
Analyse de l'expression
Compréhension de (a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)
STRUCTURE DE L'EXPRESSION
Décomposition
L'expression \( (a+b)^2 - (a-b)^2 - (a+b)(a-b) \) contient trois parties :
- \( (a+b)^2 \) : carré d'une somme
- \( (a-b)^2 \) : carré d'une différence
- \( (a+b)(a-b) \) : produit d'une somme et d'une différence
OBJECTIF
Ce que nous voulons accomplir
Nous devons :
- Développer chaque terme en utilisant les identités remarquables
- Regrouper les termes similaires
- Simplifier l'expression finale
Développement de (a+b)²
Premier terme : (a+b)²
UTILISATION DE L'IDENTITÉ REMARQUABLE
Application de (a+b)² = a² + 2ab + b²
Étape 1 : On identifie la formule : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Étape 2 : On applique directement : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Résultat : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
Développement de (a-b)²
Deuxième terme : (a-b)²
UTILISATION DE L'IDENTITÉ REMARQUABLE
Application de (a-b)² = a² - 2ab + b²
Étape 1 : On identifie la formule : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Étape 2 : On applique directement : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Résultat : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Développement de (a+b)(a-b)
Troisième terme : (a+b)(a-b)
UTILISATION DE L'IDENTITÉ REMARQUABLE
Application de (a+b)(a-b) = a² - b²
Étape 1 : On identifie la formule : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Étape 2 : On applique directement : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Résultat : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Assemblage de l'expression
Remplacement dans l'expression originale
SUBSTITUTION DES DÉVELOPPEMENTS
On remplace chaque terme
On a :
- \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
- \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Donc :
\( (a+b)^2 - (a-b)^2 - (a+b)(a-b) = (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) \)
Simplification de l'expression
Élimination des parenthèses
ÉTAPE PAR ÉTAPE
Suppression des parenthèses
Expression de départ : \( (a^2 + 2ab + b^2) - (a^2 - 2ab + b^2) - (a^2 - b^2) \)
On enlève les parenthèses (attention au signe -) : \( a^2 + 2ab + b^2 - a^2 + 2ab - b^2 - a^2 + b^2 \)
On regroupe les termes de même nature :
| Type de terme | Quantité |
|---|---|
| a² | +1 - 1 - 1 = -1 |
| ab | +2 + 2 = +4 |
| b² | +1 - 1 + 1 = +1 |
Résultat final : \( -a^2 + 4ab + b^2 \)
Vérification du résultat
Test avec des valeurs numériques
MÉTHODE DE VÉRIFICATION
Testons avec a = 2 et b = 3
Expression originale : \( (2+3)^2 - (2-3)^2 - (2+3)(2-3) = 5^2 - (-1)^2 - (5)(-1) = 25 - 1 - (-5) = 25 - 1 + 5 = 29 \)
Expression simplifiée : \( -2^2 + 4(2)(3) + 3^2 = -4 + 24 + 9 = 29 \)
Les deux résultats sont égaux : 29 = 29 ✓
Propriétés intéressantes
Observations sur l'expression
ANALYSE DE LA FORME SIMPLIFIÉE
Caractéristiques de -a² + 4ab + b²
- C'est un polynôme du second degré en a et b
- Le coefficient de ab est 4, ce qui est inhabituel dans les identités remarquables classiques
- Les coefficients de a² et b² sont opposés (-1 et +1)
- On peut aussi l'écrire : \( 4ab - a^2 + b^2 \)
AUTRE ÉCRITURE POSSIBLE
Réorganisation
On peut réécrire l'expression comme :
\( -a^2 + 4ab + b^2 = 4ab - (a^2 - b^2) = 4ab - (a+b)(a-b) \)
Ou encore :
\( -a^2 + 4ab + b^2 = (2ab + 2ab) - a^2 + b^2 = 2ab + 2ab - a^2 + b^2 \)
Applications
Usages pratiques
SITUATIONS D'UTILISATION
Dans quels contextes utiliser cette identité ?
- Simplification d'expressions : Lorsqu'on rencontre cette combinaison spécifique
- Résolution d'équations : Pour factoriser ou résoudre certaines équations quadratiques
- Géométrie : Dans des problèmes de distances ou d'aires
- Calcul mental : Pour certains calculs rapides
EXEMPLE PRATIQUE
Calculer (7+3)² - (7-3)² - (7+3)(7-3)
En utilisant notre formule : \( -a^2 + 4ab + b^2 \) avec a=7 et b=3
\( -7^2 + 4(7)(3) + 3^2 = -49 + 84 + 9 = 44 \)
Vérification : \( 10^2 - 4^2 - (10)(4) = 100 - 16 - 40 = 44 \) ✓
Erreurs fréquentes
Pièges à éviter
ERREURS COMMUNES
Erreurs à ne pas commettre
- 1 Oublier de distribuer le signe négatif : \( -(a-b)^2 = -a^2 + 2ab - b^2 \) et non \( -a^2 - 2ab - b^2 \)
- 2 Confondre \( (a+b)^2 \) et \( a^2 + b^2 \) (il manque le double produit)
- 3 Ne pas reconnaître \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
- 4 Se tromper dans la réduction des termes semblables
CONSEILS POUR ÉVITER LES ERREURS
Bonnes pratiques
- Faire les développements un par un pour éviter les erreurs
- Vérifier son résultat avec des valeurs numériques
- Reconnaître les motifs d'identités remarquables
- Prendre son temps pour la réduction finale
Exercices d'application
Problèmes à résoudre
EXERCICES
Simplifier les expressions suivantes
1. \( (x+y)^2 - (x-y)^2 - (x+y)(x-y) \)
2. \( (2a+b)^2 - (2a-b)^2 - (2a+b)(2a-b) \)
3. \( (m+n)^2 - (m-n)^2 - (m+n)(m-n) \) pour m=4, n=1
4. \( (p+q)^2 - (p-q)^2 - (p+q)(p-q) \) en fonction de pq
Solutions des exercices
Corrections détaillées
EXERCICE 1 : (x+y)² - (x-y)² - (x+y)(x-y)
Correction
\( (x+y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)
\( (x-y)^2 = x^2 - 2xy + y^2 \)
\( (x+y)(x-y) = x^2 - y^2 \)
\( (x^2 + 2xy + y^2) - (x^2 - 2xy + y^2) - (x^2 - y^2) \)
\( = x^2 + 2xy + y^2 - x^2 + 2xy - y^2 - x^2 + y^2 \)
\( = -x^2 + 4xy + y^2 \)
Réponse : \( -x^2 + 4xy + y^2 \)
EXERCICE 2 : (2a+b)² - (2a-b)² - (2a+b)(2a-b)
Correction
\( (2a+b)^2 = 4a^2 + 4ab + b^2 \)
\( (2a-b)^2 = 4a^2 - 4ab + b^2 \)
\( (2a+b)(2a-b) = 4a^2 - b^2 \)
\( (4a^2 + 4ab + b^2) - (4a^2 - 4ab + b^2) - (4a^2 - b^2) \)
\( = 4a^2 + 4ab + b^2 - 4a^2 + 4ab - b^2 - 4a^2 + b^2 \)
\( = -4a^2 + 8ab + b^2 \)
Réponse : \( -4a^2 + 8ab + b^2 \)
EXERCICE 3 : (m+n)² - (m-n)² - (m+n)(m-n) pour m=4, n=1
Correction
Forme générale : \( -m^2 + 4mn + n^2 \)
Pour m=4, n=1 : \( -4^2 + 4(4)(1) + 1^2 = -16 + 16 + 1 = 1 \)
Réponse : 1
Résumé
Points clés
FORMULE FINALE
Résultat principal
\( (a+b)^2 - (a-b)^2 - (a+b)(a-b) = -a^2 + 4ab + b^2 \)
Étapes de la méthode
- Développer chaque terme avec les identités remarquables
- Remplacer dans l'expression originale
- Éliminer les parenthèses (attention aux signes)
- Regrouper et réduire les termes semblables
- Vérifier avec des valeurs numériques
Astuce mnémotechnique
"Carré du tout moins carré du reste moins produit des extrêmes"
Cela vous aidera à vous souvenir de la structure de l'expression.
Maîtrisez les identités remarquables pour simplifier efficacement !
Conclusion
Félicitations !
FÉLICITATIONS !
MAÎTRISE DES IDENTITÉS REMARQUABLES
Vous comprenez maintenant (a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b) !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences
Compris
Retenu
Appliqué