Identités remarquables (a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)

Infographie & Exercices

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Carré d'une somme

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Carré d'une différence

\( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

Différence de deux carrés

Carré d'une somme

\((a+b)^2\)

\(= a^2 + 2ab + b^2\)

Carré d'une différence

\((a-b)^2\)

\(= a^2 - 2ab + b^2\)

Différence de deux carrés

\((a+b)(a-b)\)

\(= a^2 - b^2\)

🎯

Définition : Identités remarquables sont des égalités toujours vraies quelles que soient les valeurs des variables.

🔢

Utilité : Permettent de développer ou factoriser des expressions rapidement.

📋

Méthode : Reconnaître la structure de l'expression pour appliquer la bonne identité.

💡

Conseil : Mémoriser les formes caractéristiques des identités

🔍

Attention : Ne pas confondre les signes dans les identités

⚡

Astuce : Vérifier le résultat en développant manuellement

Exercice 1

Développer : \( (x+3)^2 \)

Exercice 2

Développer : \( (2x-5)^2 \)

Exercice 3

Développer : \( (x+4)(x-4) \)

Exercice 4

Développer : \( (3x+2)^2 \)

Exercice 5

Développer : \( (x-7)^2 \)

Exercice 6

Développer : \( (2x+3)(2x-3) \)

Exercice 7

Développer : \( (5-x)^2 \)

Exercice 8

Développer : \( (4x+y)^2 \)

Exercice 9

Développer : \( (a-b)^2 + (a+b)^2 \)

Exercice 10

Développer : \( (x+2)^2 - (x-2)^2 \)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Développement de \( (x+3)^2 \)

Identité remarquable :

Carré d'une somme : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Méthode d'application :

Identifier a et b dans l'expression
Appliquer la formule : \( a^2 + 2ab + b^2 \)
Remplacer a et b par leurs valeurs

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (x+3)^2 \) : \( a = x \) et \( b = 3 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (x+3)^2 = x^2 + 2(x)(3) + 3^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)

Réponse finale :

\( (x+3)^2 = x^2 + 6x + 9 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = x^2 \)

• Deuxième terme : \( 2ab = 2 \times x \times 3 = 6x \)

• Troisième terme : \( b^2 = 3^2 = 9 \)

2 Développement de \( (2x-5)^2 \)

Identité remarquable :

Carré d'une différence : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (2x-5)^2 \) : \( a = 2x \) et \( b = 5 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\( (2x-5)^2 = (2x)^2 - 2(2x)(5) + 5^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \)

Réponse finale :

\( (2x-5)^2 = 4x^2 - 20x + 25 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

• Deuxième terme : \( -2ab = -2 \times 2x \times 5 = -20x \)

• Troisième terme : \( b^2 = 5^2 = 25 \)

3 Développement de \( (x+4)(x-4) \)

Identité remarquable :

Différence de deux carrés : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (x+4)(x-4) \) : \( a = x \) et \( b = 4 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

\( (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 \)

Étape 3 : Effectuer le calcul

\( (x+4)(x-4) = x^2 - 16 \)

Réponse finale :

\( (x+4)(x-4) = x^2 - 16 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

• Terme positif : \( a^2 = x^2 \)

• Terme négatif : \( b^2 = 4^2 = 16 \)

• Les termes en x s'annulent : \( +4x - 4x = 0 \)

4 Développement de \( (3x+2)^2 \)

Identité remarquable :

Carré d'une somme : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (3x+2)^2 \) : \( a = 3x \) et \( b = 2 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (3x+2)^2 = (3x)^2 + 2(3x)(2) + 2^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)

Réponse finale :

\( (3x+2)^2 = 9x^2 + 12x + 4 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = (3x)^2 = 9x^2 \)

• Deuxième terme : \( 2ab = 2 \times 3x \times 2 = 12x \)

• Troisième terme : \( b^2 = 2^2 = 4 \)

5 Développement de \( (x-7)^2 \)

Identité remarquable :

Carré d'une différence : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (x-7)^2 \) : \( a = x \) et \( b = 7 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\( (x-7)^2 = x^2 - 2(x)(7) + 7^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49 \)

Réponse finale :

\( (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = x^2 \)

• Deuxième terme : \( -2ab = -2 \times x \times 7 = -14x \)

• Troisième terme : \( b^2 = 7^2 = 49 \)

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Développement de \( (2x+3)(2x-3) \)

Identité remarquable :

Différence de deux carrés : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (2x+3)(2x-3) \) : \( a = 2x \) et \( b = 3 \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

\( (2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9 \)

Réponse finale :

\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)

• Terme positif : \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)

• Terme négatif : \( b^2 = 3^2 = 9 \)

• Les termes en x s'annulent : \( +6x - 6x = 0 \)

7 Développement de \( (5-x)^2 \)

Forme équivalente :

\( (5-x)^2 = (-(x-5))^2 = (x-5)^2 \) (car le carré d'un nombre est le même que celui de son opposé)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (5-x)^2 \) : \( a = 5 \) et \( b = x \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

\( (5-x)^2 = 5^2 - 2(5)(x) + x^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (5-x)^2 = 25 - 10x + x^2 \)

Soit : \( (5-x)^2 = x^2 - 10x + 25 \)

Réponse finale :

\( (5-x)^2 = x^2 - 10x + 25 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = 5^2 = 25 \)

• Deuxième terme : \( -2ab = -2 \times 5 \times x = -10x \)

• Troisième terme : \( b^2 = x^2 \)

8 Développement de \( (4x+y)^2 \)

Identité remarquable :

Carré d'une somme : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Étape 1 : Identifier a et b

Dans \( (4x+y)^2 \) : \( a = 4x \) et \( b = y \)

Étape 2 : Appliquer la formule \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

\( (4x+y)^2 = (4x)^2 + 2(4x)(y) + y^2 \)

Étape 3 : Effectuer les calculs

\( (4x+y)^2 = 16x^2 + 8xy + y^2 \)

Réponse finale :

\( (4x+y)^2 = 16x^2 + 8xy + y^2 \)

Règles appliquées :

• Identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

• Premier terme : \( a^2 = (4x)^2 = 16x^2 \)

• Deuxième terme : \( 2ab = 2 \times 4x \times y = 8xy \)

• Troisième terme : \( b^2 = y^2 \)

9 Développement de \( (a-b)^2 + (a+b)^2 \)

Somme de deux identités :

On développe chaque identité séparément, puis on additionne les résultats.

Étape 1 : Développer \( (a-b)^2 \)

\( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

Étape 2 : Développer \( (a+b)^2 \)

\( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

Étape 3 : Additionner les deux développements

\( (a-b)^2 + (a+b)^2 = (a^2 - 2ab + b^2) + (a^2 + 2ab + b^2) \)

Étape 4 : Réduire les termes semblables

\( = a^2 - 2ab + b^2 + a^2 + 2ab + b^2 \)

\( = 2a^2 + 2b^2 \)

(les termes en ab s'annulent : \( -2ab + 2ab = 0 \))

Réponse finale :

\( (a-b)^2 + (a+b)^2 = 2a^2 + 2b^2 \)

Règles appliquées :

• On développe chaque identité séparément

• \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)

• \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)

• Les termes en ab s'annulent : \( -2ab + 2ab = 0 \)

• On additionne les termes semblables

10 Développement de \( (x+2)^2 - (x-2)^2 \)

Différence de deux identités :

On développe chaque identité séparément, puis on soustrait les résultats.

Étape 1 : Développer \( (x+2)^2 \)

\( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)

Étape 2 : Développer \( (x-2)^2 \)

\( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)

Étape 3 : Soustraire les deux développements

\( (x+2)^2 - (x-2)^2 = (x^2 + 4x + 4) - (x^2 - 4x + 4) \)

Étape 4 : Supprimer les parenthèses (attention au signe -)

\( = x^2 + 4x + 4 - x^2 + 4x - 4 \)

Étape 5 : Réduire les termes semblables

\( = (x^2 - x^2) + (4x + 4x) + (4 - 4) \)

\( = 0 + 8x + 0 \)

\( = 8x \)

Réponse finale :

\( (x+2)^2 - (x-2)^2 = 8x \)

Règles appliquées :

• On développe chaque identité séparément

• \( (x+2)^2 = x^2 + 4x + 4 \)

• \( (x-2)^2 = x^2 - 4x + 4 \)

• Quand on soustrait une parenthèse, on change les signes des termes

• Les termes en \( x^2 \) et constants s'annulent, seul le terme en x reste

Identités remarquables(a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)

Identités remarquables
(a+b)² – (a-b)² – (a+b)(a-b)