Identités du troisième degré (a³±b³)

Infographie & Exercices

\( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Somme de deux cubes

\( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Différence de deux cubes

Somme de cubes

\(a^3 + b^3\)

\(= (a + b)(a^2 - ab + b^2)\)

Différence de cubes

\(a^3 - b^3\)

\(= (a - b)(a^2 + ab + b^2)\)

🎯

Définition : Identités pour factoriser des sommes ou différences de cubes.

🔢

Structure : Premier facteur : binôme, Second facteur : trinôme avec signe opposé.

📋

Méthode : Reconnaître les cubes parfaits et appliquer la formule adaptée.

💡

Conseil : Vérifier que les termes sont des cubes parfaits

🔍

Attention : Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

⚡

Astuce : Mémoriser la structure des formules

Exercice 1

Factoriser : \( x^3 + 8 \)

Exercice 2

Factoriser : \( 27 - y^3 \)

Exercice 3

Factoriser : \( a^3 + 1 \)

Exercice 4

Factoriser : \( 8x^3 - 1 \)

Exercice 5

Factoriser : \( 64 + b^3 \)

Exercice 6

Factoriser : \( 125a^3 - 27 \)

Exercice 7

Factoriser : \( x^6 + y^6 \)

Exercice 8

Factoriser : \( 216 - 8x^3 \)

Exercice 9

Factoriser : \( (x+1)^3 - 8 \)

Exercice 10

Factoriser : \( 1000 + 27x^3 \)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Factorisation de \( x^3 + 8 \)

Identité remarquable :

Somme de cubes : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Méthode de factorisation :

Reconnaître que les termes sont des cubes parfaits
Identifier a et b
Appliquer la formule appropriée

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( x^3 + 8 = x^3 + 2^3 \)

(car \( 8 = 2^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = x \) et \( b = 2 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - x \cdot 2 + 2^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \)

Réponse finale :

\( x^3 + 8 = (x + 2)(x^2 - 2x + 4) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a + b) = (x + 2) \)

• Second facteur : \( a^2 - ab + b^2 = x^2 - 2x + 4 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

2 Factorisation de \( 27 - y^3 \)

Identité remarquable :

Différence de cubes : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( 27 - y^3 = 3^3 - y^3 \)

(car \( 27 = 3^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = 3 \) et \( b = y \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( 27 - y^3 = (3 - y)(3^2 + 3 \cdot y + y^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( 27 - y^3 = (3 - y)(9 + 3y + y^2) \)

Réponse finale :

\( 27 - y^3 = (3 - y)(y^2 + 3y + 9) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a - b) = (3 - y) \)

• Second facteur : \( a^2 + ab + b^2 = 9 + 3y + y^2 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

3 Factorisation de \( a^3 + 1 \)

Identité remarquable :

Somme de cubes : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( a^3 + 1 = a^3 + 1^3 \)

(car \( 1 = 1^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = a \) et \( b = 1 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a \cdot 1 + 1^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1) \)

Réponse finale :

\( a^3 + 1 = (a + 1)(a^2 - a + 1) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a + b) = (a + 1) \)

• Second facteur : \( a^2 - ab + b^2 = a^2 - a + 1 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

4 Factorisation de \( 8x^3 - 1 \)

Identité remarquable :

Différence de cubes : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( 8x^3 - 1 = (2x)^3 - 1^3 \)

(car \( 8x^3 = (2x)^3 \) et \( 1 = 1^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = 2x \) et \( b = 1 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( 8x^3 - 1 = (2x - 1)((2x)^2 + (2x) \cdot 1 + 1^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( 8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \)

Réponse finale :

\( 8x^3 - 1 = (2x - 1)(4x^2 + 2x + 1) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a - b) = (2x - 1) \)

• Second facteur : \( a^2 + ab + b^2 = 4x^2 + 2x + 1 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

5 Factorisation de \( 64 + b^3 \)

Identité remarquable :

Somme de cubes : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( 64 + b^3 = 4^3 + b^3 \)

(car \( 64 = 4^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = 4 \) et \( b = b \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( 64 + b^3 = (4 + b)(4^2 - 4 \cdot b + b^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( 64 + b^3 = (4 + b)(16 - 4b + b^2) \)

Réponse finale :

\( 64 + b^3 = (4 + b)(b^2 - 4b + 16) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a + b) = (4 + b) \)

• Second facteur : \( a^2 - ab + b^2 = 16 - 4b + b^2 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Factorisation de \( 125a^3 - 27 \)

Identité remarquable :

Différence de cubes : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( 125a^3 - 27 = (5a)^3 - 3^3 \)

(car \( 125a^3 = (5a)^3 \) et \( 27 = 3^3 \))

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = 5a \) et \( b = 3 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( 125a^3 - 27 = (5a - 3)((5a)^2 + (5a) \cdot 3 + 3^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( 125a^3 - 27 = (5a - 3)(25a^2 + 15a + 9) \)

Réponse finale :

\( 125a^3 - 27 = (5a - 3)(25a^2 + 15a + 9) \)

Règles appliquées :

• Identité : \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

• Premier facteur : \( (a - b) = (5a - 3) \)

• Second facteur : \( a^2 + ab + b^2 = 25a^2 + 15a + 9 \)

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

7 Factorisation de \( x^6 + y^6 \)

Transformation en somme de cubes :

\( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 \) (car \( x^6 = (x^2)^3 \) et \( y^6 = (y^2)^3 \))

Étape 1 : Transformer en somme de cubes

\( x^6 + y^6 = (x^2)^3 + (y^2)^3 \)

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = x^2 \) et \( b = y^2 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)((x^2)^2 - x^2 \cdot y^2 + (y^2)^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) \)

Réponse finale :

\( x^6 + y^6 = (x^2 + y^2)(x^4 - x^2y^2 + y^4) \)

Règles appliquées :

• On transforme \( x^6 \) et \( y^6 \) en cubes de carrés

• \( x^6 = (x^2)^3 \) et \( y^6 = (y^2)^3 \)

• Puis on applique la formule de somme de cubes

• Le signe du trinôme est opposé à celui du binôme

8 Factorisation de \( 216 - 8x^3 \)

Factorisation d'abord :

\( 216 - 8x^3 = 8(27 - x^3) \) (on factorise par 8)

Étape 1 : Factoriser par 8

\( 216 - 8x^3 = 8(27 - x^3) \)

Étape 2 : Reconnaître les cubes dans le facteur

\( 27 - x^3 = 3^3 - x^3 \)

(car \( 27 = 3^3 \))

Étape 3 : Identifier a et b

\( a = 3 \) et \( b = x \)

Étape 4 : Appliquer la formule \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( 27 - x^3 = (3 - x)(3^2 + 3 \cdot x + x^2) \)

Étape 5 : Combiner les résultats

\( 216 - 8x^3 = 8(3 - x)(9 + 3x + x^2) \)

Réponse finale :

\( 216 - 8x^3 = 8(3 - x)(x^2 + 3x + 9) \)

Règles appliquées :

• On factorise d'abord par le PGCD des coefficients

• Puis on applique la formule de différence de cubes

• On réorganise le trinôme dans l'ordre décroissant des exposants

9 Factorisation de \( (x+1)^3 - 8 \)

Différence de cubes :

\( (x+1)^3 - 8 = (x+1)^3 - 2^3 \) (car \( 8 = 2^3 \))

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( (x+1)^3 - 8 = (x+1)^3 - 2^3 \)

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = (x+1) \) et \( b = 2 \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) \)

\( (x+1)^3 - 8 = ((x+1) - 2)((x+1)^2 + (x+1) \cdot 2 + 2^2) \)

Étape 4 : Simplifier le binôme

\( (x+1) - 2 = x + 1 - 2 = x - 1 \)

Étape 5 : Développer le trinôme

\( (x+1)^2 = x^2 + 2x + 1 \)

\( (x+1) \cdot 2 = 2x + 2 \)

\( 2^2 = 4 \)

\( (x+1)^2 + (x+1) \cdot 2 + 2^2 = x^2 + 2x + 1 + 2x + 2 + 4 = x^2 + 4x + 7 \)

Étape 6 : Écrire le résultat final

\( (x+1)^3 - 8 = (x - 1)(x^2 + 4x + 7) \)

Réponse finale :

\( (x+1)^3 - 8 = (x - 1)(x^2 + 4x + 7) \)

Règles appliquées :

• On reconnaît que c'est une différence de cubes

• On identifie \( a = (x+1) \) et \( b = 2 \)

• On applique la formule de différence de cubes

• On développe le trinôme résultant

10 Factorisation de \( 1000 + 27x^3 \)

Somme de cubes :

\( 1000 + 27x^3 = 10^3 + (3x)^3 \) (car \( 1000 = 10^3 \) et \( 27x^3 = (3x)^3 \))

Étape 1 : Reconnaître les cubes

\( 1000 + 27x^3 = 10^3 + (3x)^3 \)

Étape 2 : Identifier a et b

\( a = 10 \) et \( b = 3x \)

Étape 3 : Appliquer la formule \( a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2) \)

\( 1000 + 27x^3 = (10 + 3x)(10^2 - 10 \cdot (3x) + (3x)^2) \)

Étape 4 : Simplifier le trinôme

\( 10^2 = 100 \)

\( 10 \cdot (3x) = 30x \)

\( (3x)^2 = 9x^2 \)

\( 10^2 - 10 \cdot (3x) + (3x)^2 = 100 - 30x + 9x^2 \)

Étape 5 : Réorganiser dans l'ordre décroissant

\( 1000 + 27x^3 = (10 + 3x)(9x^2 - 30x + 100) \)

Réponse finale :

\( 1000 + 27x^3 = (10 + 3x)(9x^2 - 30x + 100) \)

Règles appliquées :

• On reconnaît que c'est une somme de cubes

• On identifie \( a = 10 \) et \( b = 3x \)

• On applique la formule de somme de cubes

• On réorganise le trinôme dans l'ordre décroissant des exposants

Identités du troisièmedegré (a³±b³)

Identités du troisième
degré (a³±b³)