Carré d'une somme : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
- Identifier a et b dans l'expression
- Appliquer la formule : \( a^2 + 2ab + b^2 \)
- Remplacer a et b par leurs valeurs
Dans \( (x+5)^2 \) : \( a = x \) et \( b = 5 \)
\( (x+5)^2 = x^2 + 2(x)(5) + 5^2 \)
\( (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
\( (x+5)^2 = x^2 + 10x + 25 \)
• Identité remarquable : \( (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 \)
• Premier terme : \( a^2 = x^2 \)
• Deuxième terme : \( 2ab = 2 \times x \times 5 = 10x \)
• Troisième terme : \( b^2 = 5^2 = 25 \)
\( x^2 + 10x + 25 \) ressemble à \( a^2 + 2ab + b^2 \) (carré d'une somme)
- Identifier si c'est un trinôme du type \( a^2 + 2ab + b^2 \)
- Reconnaître a et b
- Appliquer la formule inverse : \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
\( x^2 \) est un carré : \( (x)^2 \)
\( 25 \) est un carré : \( (5)^2 \)
Est-ce que le terme du milieu est \( 2ab \) ?
\( 10x = 2 \times x \times 5 = 2ab \) ✓
\( a = x \) et \( b = 5 \)
\( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \)
\( x^2 + 10x + 25 = (x + 5)^2 \)
• On reconnaît la structure \( a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( a^2 = x^2 \Rightarrow a = x \)
• \( b^2 = 25 \Rightarrow b = 5 \)
• \( 2ab = 10x \) confirme la structure
• Donc : \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
Carré d'une différence : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Dans \( (3x-2)^2 \) : \( a = 3x \) et \( b = 2 \)
\( (3x-2)^2 = (3x)^2 - 2(3x)(2) + 2^2 \)
\( (3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \)
\( (3x-2)^2 = 9x^2 - 12x + 4 \)
• Identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• Premier terme : \( a^2 = (3x)^2 = 9x^2 \)
• Deuxième terme : \( -2ab = -2 \times 3x \times 2 = -12x \)
• Troisième terme : \( b^2 = 2^2 = 4 \)
\( 9x^2 - 12x + 4 \) ressemble à \( a^2 - 2ab + b^2 \) (carré d'une différence)
\( 9x^2 \) est un carré : \( (3x)^2 \)
\( 4 \) est un carré : \( (2)^2 \)
Est-ce que le terme du milieu est \( -2ab \) ?
\( -12x = -2 \times 3x \times 2 = -2ab \) ✓
\( a = 3x \) et \( b = 2 \)
\( 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 \)
\( 9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2 \)
• On reconnaît la structure \( a^2 - 2ab + b^2 \)
• \( a^2 = 9x^2 \Rightarrow a = 3x \)
• \( b^2 = 4 \Rightarrow b = 2 \)
• \( -2ab = -12x \) confirme la structure
• Donc : \( a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2 \)
Différence de deux carrés : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Dans \( (x+4)(x-4) \) : \( a = x \) et \( b = 4 \)
\( (x+4)(x-4) = x^2 - 4^2 \)
\( (x+4)(x-4) = x^2 - 16 \)
\( (x+4)(x-4) = x^2 - 16 \)
• Identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
• Terme positif : \( a^2 = x^2 \)
• Terme négatif : \( b^2 = 4^2 = 16 \)
• Les termes en x s'annulent : \( +4x - 4x = 0 \)
\( x^2 - 16 \) ressemble à \( a^2 - b^2 \) (différence de deux carrés)
- Identifier si c'est une différence de deux carrés
- Reconnaître a et b
- Appliquer la formule inverse : \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
\( x^2 \) est un carré : \( (x)^2 \)
\( 16 \) est un carré : \( (4)^2 \)
\( a = x \) et \( b = 4 \)
\( x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4) \)
\( x^2 - 16 = (x + 4)(x - 4) \)
• On reconnaît la structure \( a^2 - b^2 \)
• \( a^2 = x^2 \Rightarrow a = x \)
• \( b^2 = 16 \Rightarrow b = 4 \)
• Donc : \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
Différence de deux carrés : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
Dans \( (2x+3)(2x-3) \) : \( a = 2x \) et \( b = 3 \)
\( (2x+3)(2x-3) = (2x)^2 - 3^2 \)
\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9 \)
\( (2x+3)(2x-3) = 4x^2 - 9 \)
• Identité remarquable : \( (a+b)(a-b) = a^2 - b^2 \)
• Terme positif : \( a^2 = (2x)^2 = 4x^2 \)
• Terme négatif : \( b^2 = 3^2 = 9 \)
• Les termes en x s'annulent : \( +6x - 6x = 0 \)
\( 4x^2 - 9 \) ressemble à \( a^2 - b^2 \) (différence de deux carrés)
\( 4x^2 \) est un carré : \( (2x)^2 \)
\( 9 \) est un carré : \( (3)^2 \)
\( a = 2x \) et \( b = 3 \)
\( 4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) \)
\( 4x^2 - 9 = (2x + 3)(2x - 3) \)
• On reconnaît la structure \( a^2 - b^2 \)
• \( a^2 = 4x^2 \Rightarrow a = 2x \)
• \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)
• Donc : \( a^2 - b^2 = (a+b)(a-b) \)
\( x^2 + 6x + 9 \) ressemble à \( a^2 + 2ab + b^2 \) (carré d'une somme)
\( x^2 \) est un carré : \( (x)^2 \)
\( 9 \) est un carré : \( (3)^2 \)
Est-ce que le terme du milieu est \( 2ab \) ?
\( 6x = 2 \times x \times 3 = 2ab \) ✓
\( a = x \) et \( b = 3 \)
\( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
\( x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2 \)
• On reconnaît la structure \( a^2 + 2ab + b^2 \)
• \( a^2 = x^2 \Rightarrow a = x \)
• \( b^2 = 9 \Rightarrow b = 3 \)
• \( 2ab = 6x \) confirme la structure
• Donc : \( a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2 \)
Carré d'une différence : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
Dans \( (x-7)^2 \) : \( a = x \) et \( b = 7 \)
\( (x-7)^2 = x^2 - 2(x)(7) + 7^2 \)
\( (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49 \)
\( (x-7)^2 = x^2 - 14x + 49 \)
• Identité remarquable : \( (a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2 \)
• Premier terme : \( a^2 = x^2 \)
• Deuxième terme : \( -2ab = -2 \times x \times 7 = -14x \)
• Troisième terme : \( b^2 = 7^2 = 49 \)
