Règles sur les puissances | Mathématiques Seconde

Infographie & Exercices

\( a^n = \underbrace{a \times a \times \ldots \times a}_{n \text{ fois}} \)

Puissance positive

\( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Puissance négative

Multiplication

\(a^m \times a^n\)

\(= a^{m+n}\)

Division

\(a^m \div a^n\)

\(= a^{m-n}\)

Puissance de puissance

\((a^m)^n\)

\(= a^{mn}\)

🎯

Définition : Une puissance est une multiplication répétée de la même base.

🔢

Puissance négative : \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \) (inverse de la puissance positive).

📋

Méthode : Appliquer les règles selon la structure de l'expression.

💡

Conseil : Toujours regarder les bases et les exposants

🔍

Attention : Les bases doivent être identiques pour appliquer les règles

⚡

Astuce : Convertir les puissances négatives en fractions

Exercice 1

Simplifier : \( 2^3 \times 2^5 \)

Exercice 2

Simplifier : \( 5^7 \div 5^3 \)

Exercice 3

Simplifier : \( (3^2)^4 \)

Exercice 4

Simplifier : \( 4^{-2} \)

Exercice 5

Simplifier : \( 10^3 \times 10^{-5} \)

Exercice 6

Simplifier : \( 7^{-4} \times 7^6 \)

Exercice 7

Simplifier : \( \frac{2^8}{2^3} \)

Exercice 8

Simplifier : \( (2^{-3})^2 \)

Exercice 9

Simplifier : \( 3^{-2} \times 3^5 \)

Exercice 10

Simplifier : \( \frac{5^{-2}}{5^{-4}} \)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Simplification de \( 2^3 \times 2^5 \)

Règle de multiplication :

Produit de puissances de même base : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Méthode de simplification :

Vérifier que les bases sont identiques
Additionner les exposants
Conserver la même base

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( 2^3 \times 2^5 \)

Base : 2, Exposants : 3 et 5

Étape 2 : Appliquer la règle \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

\( 2^3 \times 2^5 = 2^{3+5} \)

Étape 3 : Calculer la somme des exposants

\( 2^{3+5} = 2^8 \)

Réponse finale :

\( 2^3 \times 2^5 = 2^8 \)

Règles appliquées :

• Produit de puissances : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

• Les bases doivent être identiques (ici 2)

• On additionne les exposants : \( 3 + 5 = 8 \)

• La base reste inchangée

2 Simplification de \( 5^7 \div 5^3 \)

Règle de division :

Quotient de puissances de même base : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( 5^7 \div 5^3 = \frac{5^7}{5^3} \)

Base : 5, Exposants : 7 et 3

Étape 2 : Appliquer la règle \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

\( \frac{5^7}{5^3} = 5^{7-3} \)

Étape 3 : Calculer la différence des exposants

\( 5^{7-3} = 5^4 \)

Réponse finale :

\( 5^7 \div 5^3 = 5^4 \)

Règles appliquées :

• Quotient de puissances : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

• Les bases doivent être identiques (ici 5)

• On soustrait les exposants : \( 7 - 3 = 4 \)

• La base reste inchangée

3 Simplification de \( (3^2)^4 \)

Règle de puissance de puissance :

Puissance d'une puissance : \( (a^m)^n = a^{mn} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( (3^2)^4 \)

Base intérieure : 3, exposant intérieur : 2, exposant extérieur : 4

Étape 2 : Appliquer la règle \( (a^m)^n = a^{mn} \)

\( (3^2)^4 = 3^{2 \times 4} \)

Étape 3 : Calculer le produit des exposants

\( 3^{2 \times 4} = 3^8 \)

Réponse finale :

\( (3^2)^4 = 3^8 \)

Règles appliquées :

• Puissance de puissance : \( (a^m)^n = a^{mn} \)

• On multiplie les exposants : \( 2 \times 4 = 8 \)

• La base reste inchangée

4 Simplification de \( 4^{-2} \)

Définition de puissance négative :

Puissance négative : \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

Étape 1 : Appliquer la définition de la puissance négative

\( 4^{-2} = \frac{1}{4^2} \)

Étape 2 : Calculer la puissance positive

\( 4^2 = 4 \times 4 = 16 \)

Étape 3 : Écrire le résultat

\( 4^{-2} = \frac{1}{16} \)

Réponse finale :

\( 4^{-2} = \frac{1}{16} \)

Règles appliquées :

• Puissance négative : \( a^{-n} = \frac{1}{a^n} \)

• Une puissance négative devient une fraction

• Le numérateur est 1 et le dénominateur est la puissance positive

5 Simplification de \( 10^3 \times 10^{-5} \)

Règle de multiplication avec puissances négatives :

On peut appliquer la même règle : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( 10^3 \times 10^{-5} \)

Base : 10, Exposants : 3 et -5

Étape 2 : Appliquer la règle \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

\( 10^3 \times 10^{-5} = 10^{3+(-5)} \)

Étape 3 : Calculer la somme des exposants

\( 10^{3+(-5)} = 10^{3-5} = 10^{-2} \)

Étape 4 : Convertir la puissance négative en fraction

\( 10^{-2} = \frac{1}{10^2} = \frac{1}{100} \)

Réponse finale :

\( 10^3 \times 10^{-5} = \frac{1}{100} \)

Règles appliquées :

• Produit de puissances : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

• On ajoute les exposants même si l'un est négatif

• \( 3 + (-5) = -2 \)

• On convertit la puissance négative en fraction

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Simplification de \( 7^{-4} \times 7^6 \)

Règle de multiplication avec puissances négatives :

On applique la même règle : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( 7^{-4} \times 7^6 \)

Base : 7, Exposants : -4 et 6

Étape 2 : Appliquer la règle \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

\( 7^{-4} \times 7^6 = 7^{(-4)+6} \)

Étape 3 : Calculer la somme des exposants

\( 7^{(-4)+6} = 7^{6-4} = 7^2 \)

Étape 4 : Calculer la puissance

\( 7^2 = 7 \times 7 = 49 \)

Réponse finale :

\( 7^{-4} \times 7^6 = 49 \)

Règles appliquées :

• Produit de puissances : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

• On ajoute les exposants : \( (-4) + 6 = 2 \)

• Le résultat est une puissance positive

7 Simplification de \( \frac{2^8}{2^3} \)

Règle de division :

Quotient de puissances de même base : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( \frac{2^8}{2^3} \)

Base : 2, Exposant du numérateur : 8, Exposant du dénominateur : 3

Étape 2 : Appliquer la règle \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

\( \frac{2^8}{2^3} = 2^{8-3} \)

Étape 3 : Calculer la différence des exposants

\( 2^{8-3} = 2^5 \)

Étape 4 : Calculer la puissance

\( 2^5 = 2 \times 2 \times 2 \times 2 \times 2 = 32 \)

Réponse finale :

\( \frac{2^8}{2^3} = 32 \)

Règles appliquées :

• Quotient de puissances : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

• On soustrait les exposants : \( 8 - 3 = 5 \)

• La base reste inchangée

8 Simplification de \( (2^{-3})^2 \)

Règle de puissance de puissance :

Puissance d'une puissance : \( (a^m)^n = a^{mn} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( (2^{-3})^2 \)

Base intérieure : 2, exposant intérieur : -3, exposant extérieur : 2

Étape 2 : Appliquer la règle \( (a^m)^n = a^{mn} \)

\( (2^{-3})^2 = 2^{(-3) \times 2} \)

Étape 3 : Calculer le produit des exposants

\( 2^{(-3) \times 2} = 2^{-6} \)

Étape 4 : Convertir la puissance négative en fraction

\( 2^{-6} = \frac{1}{2^6} = \frac{1}{64} \)

Réponse finale :

\( (2^{-3})^2 = \frac{1}{64} \)

Règles appliquées :

• Puissance de puissance : \( (a^m)^n = a^{mn} \)

• On multiplie les exposants : \( (-3) \times 2 = -6 \)

• On convertit la puissance négative en fraction

9 Simplification de \( 3^{-2} \times 3^5 \)

Règle de multiplication avec puissances négatives :

On applique la même règle : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( 3^{-2} \times 3^5 \)

Base : 3, Exposants : -2 et 5

Étape 2 : Appliquer la règle \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

\( 3^{-2} \times 3^5 = 3^{(-2)+5} \)

Étape 3 : Calculer la somme des exposants

\( 3^{(-2)+5} = 3^{5-2} = 3^3 \)

Étape 4 : Calculer la puissance

\( 3^3 = 3 \times 3 \times 3 = 27 \)

Réponse finale :

\( 3^{-2} \times 3^5 = 27 \)

Règles appliquées :

• Produit de puissances : \( a^m \times a^n = a^{m+n} \)

• On ajoute les exposants : \( (-2) + 5 = 3 \)

• Le résultat est une puissance positive

10 Simplification de \( \frac{5^{-2}}{5^{-4}} \)

Règle de division avec puissances négatives :

Quotient de puissances de même base : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

Étape 1 : Identifier la base et les exposants

\( \frac{5^{-2}}{5^{-4}} \)

Base : 5, Exposant du numérateur : -2, Exposant du dénominateur : -4

Étape 2 : Appliquer la règle \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

\( \frac{5^{-2}}{5^{-4}} = 5^{(-2)-(-4)} \)

Étape 3 : Calculer la différence des exposants

\( 5^{(-2)-(-4)} = 5^{(-2)+4} = 5^{4-2} = 5^2 \)

Étape 4 : Calculer la puissance

\( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)

Réponse finale :

\( \frac{5^{-2}}{5^{-4}} = 25 \)

Règles appliquées :

• Quotient de puissances : \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \)

• On soustrait les exposants : \( (-2) - (-4) = (-2) + 4 = 2 \)

• Soustraire un nombre négatif revient à ajouter son opposé

Règles sur les puissances(entier positif/négatif)

Règles sur les puissances
(entier positif/négatif)