Racine carrée : définition et propriétés

Infographie & Exercices

\( \sqrt{a} = b \Leftrightarrow b^2 = a \)

Définition de la racine carrée

\( \sqrt{a^2} = |a| \)

Propriété fondamentale

Définition

\(\sqrt{a}\)

Nombre positif dont le carré est a

Produit

\(\sqrt{ab}\)

\(= \sqrt{a}\sqrt{b}\)

Quotient

\(\sqrt{\frac{a}{b}}\)

\(= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

🎯

Définition : La racine carrée d'un nombre positif a est le nombre positif dont le carré est a.

🔢

Condition : a ≥ 0 (on ne peut pas extraire la racine carrée d'un nombre négatif).

📋

Propriété : \( \sqrt{a^2} = |a| \) (valeur absolue).

💡

Conseil : Toujours vérifier que le nombre sous la racine est positif

🔍

Attention : La racine carrée est toujours positive

⚡

Astuce : Connaître les carrés parfaits facilite les calculs

Exercice 1

Calculer : \( \sqrt{25} \)

Exercice 2

Calculer : \( \sqrt{49} \)

Exercice 3

Calculer : \( \sqrt{144} \)

Exercice 4

Calculer : \( \sqrt{(-3)^2} \)

Exercice 5

Calculer : \( \sqrt{16 \times 9} \)

Exercice 6

Calculer : \( \sqrt{\frac{36}{4}} \)

Exercice 7

Calculer : \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \)

Exercice 8

Calculer : \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \)

Exercice 9

Calculer : \( \sqrt{(-5)^2} \)

Exercice 10

Calculer : \( \sqrt{0} \)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Calcul de \( \sqrt{25} \)

Définition de la racine carrée :

Racine carrée : \( \sqrt{a} = b \) signifie que \( b^2 = a \) et \( b \geq 0 \)

Méthode de calcul :

Rechercher le carré parfait correspondant
Identifier le nombre positif dont le carré est le nombre donné
La racine carrée est toujours positive

Étape 1 : Identifier le carré parfait

Quel nombre positif élevé au carré donne 25 ?

Étape 2 : Trouver le nombre

\( 5^2 = 5 \times 5 = 25 \)

Étape 3 : Conclure

Donc \( \sqrt{25} = 5 \)

Réponse finale :

\( \sqrt{25} = 5 \)

Règles appliquées :

• Définition : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est a

• \( \sqrt{25} = 5 \) car \( 5^2 = 25 \) et \( 5 \geq 0 \)

• La racine carrée est toujours positive

2 Calcul de \( \sqrt{49} \)

Carré parfait :

49 est un carré parfait car \( 7^2 = 49 \)

Étape 1 : Identifier le carré parfait

Quel nombre positif élevé au carré donne 49 ?

Étape 2 : Trouver le nombre

\( 7^2 = 7 \times 7 = 49 \)

Étape 3 : Conclure

Donc \( \sqrt{49} = 7 \)

Réponse finale :

\( \sqrt{49} = 7 \)

Règles appliquées :

• Définition : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est a

• \( \sqrt{49} = 7 \) car \( 7^2 = 49 \) et \( 7 \geq 0 \)

• Connaître les carrés parfaits facilite les calculs

3 Calcul de \( \sqrt{144} \)

Grand carré parfait :

144 est un carré parfait car \( 12^2 = 144 \)

Étape 1 : Identifier le carré parfait

Quel nombre positif élevé au carré donne 144 ?

Étape 2 : Trouver le nombre

\( 12^2 = 12 \times 12 = 144 \)

Étape 3 : Conclure

Donc \( \sqrt{144} = 12 \)

Réponse finale :

\( \sqrt{144} = 12 \)

Règles appliquées :

• Définition : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est a

• \( \sqrt{144} = 12 \) car \( 12^2 = 144 \) et \( 12 \geq 0 \)

• Il est utile de connaître les carrés des nombres jusqu'à 15 ou 20

4 Calcul de \( \sqrt{(-3)^2} \)

Propriété fondamentale :

Propriété : \( \sqrt{a^2} = |a| \) (valeur absolue de a)

Étape 1 : Calculer l'expression sous la racine

\( (-3)^2 = (-3) \times (-3) = 9 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété \( \sqrt{a^2} = |a| \)

\( \sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3 \)

Étape 3 : Alternative - Calcul direct

\( \sqrt{(-3)^2} = \sqrt{9} = 3 \)

Réponse finale :

\( \sqrt{(-3)^2} = 3 \)

Règles appliquées :

• Propriété fondamentale : \( \sqrt{a^2} = |a| \)

• Le carré d'un nombre est toujours positif

• La racine carrée est toujours positive

• Donc \( \sqrt{(-3)^2} = 3 \), pas -3

5 Calcul de \( \sqrt{16 \times 9} \)

Propriété du produit :

Propriété : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \) (si a ≥ 0 et b ≥ 0)

Étape 1 : Appliquer la propriété du produit

\( \sqrt{16 \times 9} = \sqrt{16} \times \sqrt{9} \)

Étape 2 : Calculer chaque racine

\( \sqrt{16} = 4 \) (car \( 4^2 = 16 \))

\( \sqrt{9} = 3 \) (car \( 3^2 = 9 \))

Étape 3 : Multiplier les résultats

\( \sqrt{16 \times 9} = 4 \times 3 = 12 \)

Étape 4 : Vérification

\( 12^2 = 144 \) et \( 16 \times 9 = 144 \) ✓

Réponse finale :

\( \sqrt{16 \times 9} = 12 \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

• Cette propriété ne s'applique que si a ≥ 0 et b ≥ 0

• On peut ainsi simplifier le calcul en décomposant le nombre

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Calcul de \( \sqrt{\frac{36}{4}} \)

Propriété du quotient :

Propriété : \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \) (si a ≥ 0 et b > 0)

Étape 1 : Appliquer la propriété du quotient

\( \sqrt{\frac{36}{4}} = \frac{\sqrt{36}}{\sqrt{4}} \)

Étape 2 : Calculer chaque racine

\( \sqrt{36} = 6 \) (car \( 6^2 = 36 \))

\( \sqrt{4} = 2 \) (car \( 2^2 = 4 \))

Étape 3 : Diviser les résultats

\( \sqrt{\frac{36}{4}} = \frac{6}{2} = 3 \)

Étape 4 : Vérification

\( 3^2 = 9 \) et \( \frac{36}{4} = 9 \) ✓

Réponse finale :

\( \sqrt{\frac{36}{4}} = 3 \)

Règles appliquées :

• Propriété du quotient : \( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)

• Cette propriété ne s'applique que si a ≥ 0 et b > 0

• On peut simplifier le calcul en traitant numérateur et dénominateur séparément

7 Calcul de \( \sqrt{2} \times \sqrt{8} \)

Propriété inverse du produit :

Propriété : \( \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} \) (si a ≥ 0 et b ≥ 0)

Étape 1 : Appliquer la propriété inverse du produit

\( \sqrt{2} \times \sqrt{8} = \sqrt{2 \times 8} \)

Étape 2 : Calculer le produit sous la racine

\( 2 \times 8 = 16 \)

Étape 3 : Calculer la racine

\( \sqrt{16} = 4 \) (car \( 4^2 = 16 \))

Étape 4 : Vérification

\( \sqrt{2} \approx 1.414 \) et \( \sqrt{8} \approx 2.828 \)

\( 1.414 \times 2.828 \approx 4 \) ✓

Réponse finale :

\( \sqrt{2} \times \sqrt{8} = 4 \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab} \)

• On peut combiner les racines en une seule racine

• Cela permet de simplifier le calcul

8 Calcul de \( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} \)

Propriété inverse du quotient :

Propriété : \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \) (si a ≥ 0 et b > 0)

Étape 1 : Appliquer la propriété inverse du quotient

\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}} \)

Étape 2 : Calculer le quotient sous la racine

\( \frac{50}{2} = 25 \)

Étape 3 : Calculer la racine

\( \sqrt{25} = 5 \) (car \( 5^2 = 25 \))

Étape 4 : Vérification

\( \sqrt{50} = \sqrt{25 \times 2} = 5\sqrt{2} \)

\( \frac{5\sqrt{2}}{\sqrt{2}} = 5 \) ✓

Réponse finale :

\( \frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 5 \)

Règles appliquées :

• Propriété du quotient : \( \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} \)

• On peut combiner les racines en une seule racine

• Cela permet de simplifier le calcul

9 Calcul de \( \sqrt{(-5)^2} \)

Propriété fondamentale :

Propriété : \( \sqrt{a^2} = |a| \) (valeur absolue de a)

Étape 1 : Calculer l'expression sous la racine

\( (-5)^2 = (-5) \times (-5) = 25 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété \( \sqrt{a^2} = |a| \)

\( \sqrt{(-5)^2} = |-5| = 5 \)

Étape 3 : Alternative - Calcul direct

\( \sqrt{(-5)^2} = \sqrt{25} = 5 \)

Réponse finale :

\( \sqrt{(-5)^2} = 5 \)

Règles appliquées :

• Propriété fondamentale : \( \sqrt{a^2} = |a| \)

• Le carré d'un nombre est toujours positif

• La racine carrée est toujours positive

• Donc \( \sqrt{(-5)^2} = 5 \), pas -5

10 Calcul de \( \sqrt{0} \)

Cas particulier :

Propriété : \( \sqrt{0} = 0 \) car \( 0^2 = 0 \)

Étape 1 : Appliquer la définition

Quel nombre positif élevé au carré donne 0 ?

Étape 2 : Trouver le nombre

\( 0^2 = 0 \times 0 = 0 \)

Étape 3 : Conclure

Donc \( \sqrt{0} = 0 \)

Étape 4 : Vérification de la propriété fondamentale

\( \sqrt{0^2} = |0| = 0 \) ✓

Réponse finale :

\( \sqrt{0} = 0 \)

Règles appliquées :

• Définition : \( \sqrt{a} \) est le nombre positif dont le carré est a

• \( \sqrt{0} = 0 \) car \( 0^2 = 0 \) et \( 0 \geq 0 \)

• Le cas de 0 est inclus dans la définition générale

Racine carrée :définition et propriétés

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définition et propriétés