Simplification d'expressions avec racines

Infographie & Exercices

\( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

Produit de racines

\( \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \)

Extraction de carrés

Produit

\(\sqrt{ab}\)

\(= \sqrt{a}\sqrt{b}\)

Quotient

\(\sqrt{\frac{a}{b}}\)

\(= \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)

Carré sous racine

\(\sqrt{a^2}\)

\(= |a|\)

🎯

Méthode : Extraire les carrés parfaits du radicande pour simplifier.

🔢

Principe : \( \sqrt{a^2b} = a\sqrt{b} \) si a ≥ 0.

📋

Objectif : Réduire les expressions en regroupant les termes semblables.

💡

Conseil : Décomposer le nombre sous la racine en produit de carrés parfaits

🔍

Attention : Ne pas oublier que la racine carrée est positive

⚡

Astuce : Regrouper les termes avec la même racine

Exercice 1

Simplifier : \( \sqrt{18} \)

Exercice 2

Simplifier : \( \sqrt{50} \)

Exercice 3

Simplifier : \( 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} \)

Exercice 4

Simplifier : \( \sqrt{48} \)

Exercice 5

Simplifier : \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)

Exercice 6

Simplifier : \( \sqrt{72} \)

Exercice 7

Simplifier : \( 4\sqrt{5} + \sqrt{20} \)

Exercice 8

Simplifier : \( \sqrt{12} + \sqrt{27} \)

Exercice 9

Simplifier : \( \sqrt{98} - \sqrt{32} \)

Exercice 10

Simplifier : \( 6\sqrt{2} - \sqrt{8} + 3\sqrt{2} \)

Corrigé : Exercices 1 à 5

1 Simplification de \( \sqrt{18} \)

Méthode d'extraction :

Objectif : Trouver les carrés parfaits dans la décomposition du nombre.

Méthode de simplification :

Décomposer le nombre en facteurs premiers
Identifier les carrés parfaits
Extraire les carrés de la racine

Étape 1 : Décomposer 18 en facteurs

\( 18 = 2 \times 9 = 2 \times 3^2 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

\( \sqrt{18} = \sqrt{2 \times 3^2} = \sqrt{2} \times \sqrt{3^2} \)

Étape 3 : Simplifier \( \sqrt{3^2} \)

\( \sqrt{3^2} = 3 \) (car \( 3 \geq 0 \))

Étape 4 : Écrire le résultat final

\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{18} = 3\sqrt{2} \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

• Extraction de carrés : \( \sqrt{a^2} = a \) si \( a \geq 0 \)

• On décompose le nombre pour faire apparaître des carrés parfaits

2 Simplification de \( \sqrt{50} \)

Décomposition en carrés parfaits :

50 = 25 × 2 = 5² × 2

Étape 1 : Décomposer 50 en facteurs

\( 50 = 25 \times 2 = 5^2 \times 2 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété du produit

\( \sqrt{50} = \sqrt{5^2 \times 2} = \sqrt{5^2} \times \sqrt{2} \)

Étape 3 : Simplifier \( \sqrt{5^2} \)

\( \sqrt{5^2} = 5 \) (car \( 5 \geq 0 \))

Étape 4 : Écrire le résultat final

\( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

• Extraction de carrés : \( \sqrt{a^2} = a \) si \( a \geq 0 \)

• On cherche à faire apparaître des carrés parfaits dans la décomposition

3 Simplification de \( 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} \)

Termes semblables :

On peut additionner les coefficients quand les racines sont identiques.

Étape 1 : Identifier les termes semblables

Les deux termes ont la même racine : \( \sqrt{7} \)

Étape 2 : Factoriser par la racine commune

\( 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = (3 + 2)\sqrt{7} \)

Étape 3 : Calculer la somme des coefficients

\( (3 + 2)\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \)

Réponse finale :

\( 3\sqrt{7} + 2\sqrt{7} = 5\sqrt{7} \)

Règles appliquées :

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• \( a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a + c)\sqrt{b} \)

• On additionne les coefficients et on garde la racine commune

4 Simplification de \( \sqrt{48} \)

Décomposition en carrés parfaits :

48 = 16 × 3 = 4² × 3

Étape 1 : Décomposer 48 en facteurs

\( 48 = 16 \times 3 = 4^2 \times 3 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété du produit

\( \sqrt{48} = \sqrt{4^2 \times 3} = \sqrt{4^2} \times \sqrt{3} \)

Étape 3 : Simplifier \( \sqrt{4^2} \)

\( \sqrt{4^2} = 4 \) (car \( 4 \geq 0 \))

Étape 4 : Écrire le résultat final

\( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{48} = 4\sqrt{3} \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

• Extraction de carrés : \( \sqrt{a^2} = a \) si \( a \geq 0 \)

• On décompose pour faire apparaître des carrés parfaits

5 Simplification de \( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} \)

Termes semblables :

On peut soustraire les coefficients quand les racines sont identiques.

Étape 1 : Identifier les termes semblables

Les deux termes ont la même racine : \( \sqrt{3} \)

Étape 2 : Factoriser par la racine commune

\( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5 - 2)\sqrt{3} \)

Étape 3 : Calculer la différence des coefficients

\( (5 - 2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

Réponse finale :

\( 5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

Règles appliquées :

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• \( a\sqrt{b} - c\sqrt{b} = (a - c)\sqrt{b} \)

• On soustrait les coefficients et on garde la racine commune

Corrigé : Exercices 6 à 10

6 Simplification de \( \sqrt{72} \)

Décomposition en carrés parfaits :

72 = 36 × 2 = 6² × 2

Étape 1 : Décomposer 72 en facteurs

\( 72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2 \)

Étape 2 : Appliquer la propriété du produit

\( \sqrt{72} = \sqrt{6^2 \times 2} = \sqrt{6^2} \times \sqrt{2} \)

Étape 3 : Simplifier \( \sqrt{6^2} \)

\( \sqrt{6^2} = 6 \) (car \( 6 \geq 0 \))

Étape 4 : Écrire le résultat final

\( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{72} = 6\sqrt{2} \)

Règles appliquées :

• Propriété du produit : \( \sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b} \)

• Extraction de carrés : \( \sqrt{a^2} = a \) si \( a \geq 0 \)

• On décompose pour faire apparaître des carrés parfaits

7 Simplification de \( 4\sqrt{5} + \sqrt{20} \)

Simplifier d'abord \( \sqrt{20} \) :

\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4}\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)

Étape 1 : Simplifier \( \sqrt{20} \)

\( \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = \sqrt{4}\sqrt{5} = 2\sqrt{5} \)

Étape 2 : Remplacer dans l'expression originale

\( 4\sqrt{5} + \sqrt{20} = 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} \)

Étape 3 : Combiner les termes semblables

\( 4\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (4 + 2)\sqrt{5} = 6\sqrt{5} \)

Réponse finale :

\( 4\sqrt{5} + \sqrt{20} = 6\sqrt{5} \)

Règles appliquées :

• Simplifier d'abord : On simplifie toutes les racines

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• \( a\sqrt{b} + c\sqrt{b} = (a + c)\sqrt{b} \)

8 Simplification de \( \sqrt{12} + \sqrt{27} \)

Simplifier chaque racine séparément :

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3} \)

\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = 3\sqrt{3} \)

Étape 1 : Simplifier \( \sqrt{12} \)

\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = \sqrt{4}\sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)

Étape 2 : Simplifier \( \sqrt{27} \)

\( \sqrt{27} = \sqrt{9 \times 3} = \sqrt{9}\sqrt{3} = 3\sqrt{3} \)

Étape 3 : Remplacer dans l'expression originale

\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} \)

Étape 4 : Combiner les termes semblables

\( 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} = (2 + 3)\sqrt{3} = 5\sqrt{3} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{12} + \sqrt{27} = 5\sqrt{3} \)

Règles appliquées :

• Simplifier d'abord : On simplifie toutes les racines

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• On additionne les coefficients et on garde la racine commune

9 Simplification de \( \sqrt{98} - \sqrt{32} \)

Simplifier chaque racine séparément :

\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = 7\sqrt{2} \)

\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = 4\sqrt{2} \)

Étape 1 : Simplifier \( \sqrt{98} \)

\( \sqrt{98} = \sqrt{49 \times 2} = \sqrt{49}\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)

Étape 2 : Simplifier \( \sqrt{32} \)

\( \sqrt{32} = \sqrt{16 \times 2} = \sqrt{16}\sqrt{2} = 4\sqrt{2} \)

Étape 3 : Remplacer dans l'expression originale

\( \sqrt{98} - \sqrt{32} = 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} \)

Étape 4 : Combiner les termes semblables

\( 7\sqrt{2} - 4\sqrt{2} = (7 - 4)\sqrt{2} = 3\sqrt{2} \)

Réponse finale :

\( \sqrt{98} - \sqrt{32} = 3\sqrt{2} \)

Règles appliquées :

• Simplifier d'abord : On simplifie toutes les racines

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• On soustrait les coefficients et on garde la racine commune

10 Simplification de \( 6\sqrt{2} - \sqrt{8} + 3\sqrt{2} \)

Simplifier d'abord \( \sqrt{8} \) :

\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = 2\sqrt{2} \)

Étape 1 : Simplifier \( \sqrt{8} \)

\( \sqrt{8} = \sqrt{4 \times 2} = \sqrt{4}\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \)

Étape 2 : Remplacer dans l'expression originale

\( 6\sqrt{2} - \sqrt{8} + 3\sqrt{2} = 6\sqrt{2} - 2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} \)

Étape 3 : Regrouper les termes avec la même racine

Tous les termes ont \( \sqrt{2} \), donc on peut combiner les coefficients

Étape 4 : Additionner/soustraire les coefficients

\( (6 - 2 + 3)\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)

Réponse finale :

\( 6\sqrt{2} - \sqrt{8} + 3\sqrt{2} = 7\sqrt{2} \)

Règles appliquées :

• Simplifier d'abord : On simplifie toutes les racines

• Termes semblables : On peut combiner les coefficients

• On effectue les opérations sur les coefficients et on garde la racine commune

Simplification d'expressionsavec racines

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