Les Identités du Troisième Degré
1
a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
2
a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Somme de cubes: a³ + b³
Différence de cubes: a³ - b³
Factorisation: Forme produit
Le premier facteur est la somme/différence des bases
Le second facteur a toujours 3 termes
Le signe du produit intermédiaire est opposé
Exemples Détaillés
x³ + 8
Reconnaître: x³ + 2³
Formule: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Application: a=x, b=2
Résultat: (x + 2)(x² - 2x + 4)
Formule: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Application: a=x, b=2
Résultat: (x + 2)(x² - 2x + 4)
x³ - 27
Reconnaître: x³ - 3³
Formule: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Application: a=x, b=3
Résultat: (x - 3)(x² + 3x + 9)
Formule: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Application: a=x, b=3
Résultat: (x - 3)(x² + 3x + 9)
8x³ + 1
Reconnaître: (2x)³ + 1³
Formule: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Application: a=2x, b=1
Résultat: (2x + 1)(4x² - 2x + 1)
Formule: a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
Application: a=2x, b=1
Résultat: (2x + 1)(4x² - 2x + 1)
Applications Pratiques
Calcul numérique: 10³ - 9³
Formule: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Application: a=10, b=9
10³ - 9³ = (10 - 9)(10² + 10×9 + 9²)
= 1×(100 + 90 + 81) = 271
Application: a=10, b=9
10³ - 9³ = (10 - 9)(10² + 10×9 + 9²)
= 1×(100 + 90 + 81) = 271
Factorisation: x⁶ - 64
Reconnaître: (x²)³ - 4³
Formule: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Résultat: (x² - 4)(x⁴ + 4x² + 16)
Formule: a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
Résultat: (x² - 4)(x⁴ + 4x² + 16)
Simplification: (a³ + b³)/(a + b)
Quotient: (a³ + b³)/(a + b)
Factorisation: [(a + b)(a² - ab + b²)]/(a + b)
Simplification: a² - ab + b²
Factorisation: [(a + b)(a² - ab + b²)]/(a + b)
Simplification: a² - ab + b²
Astuces & Erreurs Fréquentes
Reconnaissance
Chercher des cubes parfaits: 1, 8, 27, 64, 125...
Signe du produit
Dans a² ± ab + b², le signe du produit est opposé à la somme/différence
Erreur classique
a³ + b³ ≠ (a + b)³, ce sont des formules différentes
Vérification
Développer le produit pour vérifier la factorisation
