Identités remarquables

• Réduire le temps de calcul
• Faciliter la factorisation
• Résoudre des équations plus efficacement
• Identifier des formes particulières
• Préparer à des calculs plus avancés

Exemple 1 : (x + 3)² = x² + 2×x×3 + 3² = x² + 6x + 9

Exemple 2 : (2y + 5)² = (2y)² + 2×(2y)×5 + 5² = 4y² + 20y + 25

Exemple 3 : (3x + 2)² = (3x)² + 2×(3x)×2 + 2² = 9x² + 12x + 4

Pour tous réels a et b :

Démonstration : (a - b)² = (a - b) × (a - b) = a × a - a × b - b × a + b × b = a² - ab - ba + b² = a² - 2ab + b²

Exemple 1 : (x - 4)² = x² - 2×x×4 + 4² = x² - 8x + 16

Exemple 2 : (3y - 2)² = (3y)² - 2×(3y)×2 + 2² = 9y² - 12y + 4

Exemple 3 : (5x - 1)² = (5x)² - 2×(5x)×1 + 1² = 25x² - 10x + 1

Note : Le signe du double produit est négatif dans cette identité.

Pour tous réels a et b :

Démonstration : (a + b)(a - b) = a × a - a × b + b × a - b × b = a² - ab + ba - b² = a² - b²

Exemple 1 : (x + 2)(x - 2) = x² - 2² = x² - 4

Exemple 2 : (3y + 4)(3y - 4) = (3y)² - 4² = 9y² - 16

Exemple 3 : (2x + 5)(2x - 5) = (2x)² - 5² = 4x² - 25

Exemple 4 : (7 + 3x)(7 - 3x) = 7² - (3x)² = 49 - 9x²

Pour identifier une identité remarquable dans une expression développée :

• Forme a² + 2ab + b² → (a + b)²
• Forme a² - 2ab + b² → (a - b)²
• Forme a² - b² → (a + b)(a - b)

1. Identifier les termes carrés
2. Vérifier s'il y a un double produit
3. Comparer avec les formes types
4. Factoriser ou développer selon le cas

• 1 Résolution d'équations du second degré
• 2 Calcul de dérivées (factorisation)
• 3 Simplification d'expressions
• 4 Calcul de limites
• 5 Factorisation de polynômes

Soit l'équation : x² + 6x + 9 = 25

On reconnaît : (x + 3)² = 25

Donc : x + 3 = 5 ou x + 3 = -5

Soit : x = 2 ou x = -8

Cette méthode est plus rapide que la factorisation traditionnelle.

Utilisons la formule (a + b)² = a² + 2ab + b² avec a = 2x et b = 3 :

(2x + 3)² = (2x)² + 2×(2x)×3 + 3² = 4x² + 12x + 9

Utilisons la formule (a - b)² = a² - 2ab + b² avec a = 5y et b = 2 :

(5y - 2)² = (5y)² - 2×(5y)×2 + 2² = 25y² - 20y + 4

Utilisons la formule (a + b)(a - b) = a² - b² avec a = 4a et b = 7 :

(4a + 7)(4a - 7) = (4a)² - 7² = 16a² - 49

Reconnaissons la forme a² + 2ab + b² :

• Termes carrés : x² = (x)² et 25 = 5²
• Double produit : 10x = 2×x×5
• Donc x² + 10x + 25 = (x + 5)²

Reconnaissons la forme a² - 2ab + b² :

• Termes carrés : 9y² = (3y)² et 4 = 2²
• Double produit : 12y = 2×(3y)×2
• Donc 9y² - 12y + 4 = (3y - 2)²

Reconnaissons la forme a² - b² :

• Termes carrés : 16 = 4² et x² = (x)²
• Donc 16 - x² = 4² - x² = (4 + x)(4 - x)

On reconnaît une expression de la forme (a - b)² = c², donc a - b = c ou a - b = -c.

Donc : x - 1 = 4 ou x - 1 = -4

Soit : x = 5 ou x = -3

Vérification : (5 - 1)² = 4² = 16 ✓ et (-3 - 1)² = (-4)² = 16 ✓

Pour résoudre une équation de la forme (x + a)² = b :

1. Vérifier que b ≥ 0
2. Extraire la racine carrée : |x + a| = √b
3. Écrire x + a = √b ou x + a = -√b
4. Isoler x dans chaque cas

Cette méthode est plus rapide que la factorisation traditionnelle.

L'aire d'un rectangle est le produit de sa longueur par sa largeur.

Aire = (x + 3)(x - 3)

Utilisons l'identité remarquable (a + b)(a - b) = a² - b² :

Aire = x² - 3² = x² - 9

Si l'aire est 40 cm², alors : x² - 9 = 40

x² = 40 + 9 = 49

x = √49 = 7 (car x > 3)

Avec x = 7, les dimensions sont : (7 + 3) = 10 cm et (7 - 3) = 4 cm

Périmètre = 2 × (longueur + largeur) = 2 × (10 + 4) = 2 × 14 = 28 cm

Un carré de même aire (40 cm²) a un côté de √40 ≈ 6.32 cm

Périmètre du carré = 4 × √40 ≈ 4 × 6.32 ≈ 25.3 cm

Comparaison :

• Rectangle : aire = 40 cm², périmètre = 28 cm
• Carré : aire = 40 cm², périmètre ≈ 25.3 cm

Le carré a le plus petit périmètre pour une même aire.

Le rectangle a des dimensions de 10 cm × 4 cm.

Il est plus long que large, ce qui augmente son périmètre par rapport au carré.

Cette propriété est utilisée en architecture et en design pour optimiser les surfaces.

L'utilisation des identités remarquables a permis de simplifier le calcul de l'aire.

Soit l'expression : \(\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4ab}\)

Développons le numérateur : (a + b)² - (a - b)² = (a² + 2ab + b²) - (a² - 2ab + b²) = a² + 2ab + b² - a² + 2ab - b² = 4ab

Donc : \(\frac{(a + b)^2 - (a - b)^2}{4ab} = \frac{4ab}{4ab} = 1\)

En géométrie, les identités remarquables sont utilisées pour :

• Calculer des distances
• Démontrer des propriétés
• Résoudre des équations de droites
• Étudier des transformations

Par exemple, pour démontrer que (x - a)² + (y - b)² = r² est l'équation d'un cercle de centre (a, b) et de rayon r.

• \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
• \((a + b)(a - b) = a^2 - b^2\)

• Développement d'expressions
• Factorisation d'expressions
• Résolution d'équations
• Simplification d'expressions
• Calculs en géométrie

1. Identifier les termes carrés
2. Vérifier la présence d'un double produit
3. Comparer avec les formes types
4. Appliquer la formule correspondante