Identité remarquable du carré d'une somme : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\). Cette formule permet de développer rapidement le carré d'une somme de deux termes.
- Identifier les termes a et b dans l'expression \((a+b)^2\)
- Appliquer la formule : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- Calculer chaque terme : a², 2ab, b²
- Simplifier les calculs
Dans \((3x + 5)^2\), on a :
\(a = 3x\) et \(b = 5\)
\((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
\((3x + 5)^2 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times 5 + 5^2\)
\((3x)^2 = 9x^2\)
\(2 \times (3x) \times 5 = 30x\)
\(5^2 = 25\)
\((3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25\)
\((3x + 5)^2 = 9x^2 + 30x + 25\)
• Identité du carré d'une somme : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
• Puissance d'un produit : \((ab)^n = a^n b^n\)
• Calcul algébrique : Respect des priorités opératoires
Identité remarquable de la différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Cette formule permet de factoriser une expression constituée de la différence de deux carrés parfaits.
- Identifier s'il s'agit d'une différence de deux carrés
- Repérer les termes a et b tels que l'expression soit de la forme \(a^2 - b^2\)
- Appliquer la formule : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- Vérifier le résultat en développant
\(x^2 - 16\) est une différence de deux termes
\(x^2\) est le carré de \(x\)
\(16 = 4^2\) est le carré de \(4\)
\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2\)
Donc \(a = x\) et \(b = 4\)
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(x^2 - 16 = x^2 - 4^2 = (x+4)(x-4)\)
\((x+4)(x-4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16\) ✓
\(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
• Différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• Reconnaissance : Identifier deux termes au carré
• Vérification : Toujours développer pour confirmer
Identité de Legendre : \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\). Cette formule est utile pour développer le produit d'une somme et d'une différence.
- Identifier les termes a et b dans l'expression \((a+b)(a-b)\)
- Appliquer la formule : \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
- Calculer a² et b²
- Former la différence a² - b²
Dans \((2x - 3)(2x + 3)\), on peut réécrire comme \((2x + 3)(2x - 3)\)
On a : \(a = 2x\) et \(b = 3\)
\((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
\((2x + 3)(2x - 3) = (2x)^2 - 3^2\)
\((2x)^2 = 4x^2\)
\(3^2 = 9\)
\((2x + 3)(2x - 3) = 4x^2 - 9\)
On peut vérifier par double distributivité :
\((2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 + 6x - 6x - 9 = 4x^2 - 9\) ✓
\((2x - 3)(2x + 3) = 4x^2 - 9\)
• Identité de Legendre : \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
• Structure : Produit d'une somme et d'une différence
• Rapidité : Plus efficace que la double distributivité
Factorisation d'un trinôme carré parfait : Si une expression est de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\) ou \(a^2 - 2ab + b^2\), alors elle se factorise en \((a+b)^2\) ou \((a-b)^2\).
- Vérifier s'il s'agit d'un trinôme à trois termes
- Vérifier si les extrêmes sont des carrés parfaits
- Vérifier si le terme central est le double produit des racines des extrêmes
- Appliquer la formule : \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) ou \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
\(9x^2 + 12x + 4\) a trois termes
\(9x^2 = (3x)^2\) est un carré
\(4 = 2^2\) est un carré
\(12x\) est le terme central
Les racines des extrêmes sont : \(3x\) et \(2\)
Le double produit est : \(2 \times (3x) \times 2 = 12x\)
C'est exactement le terme central !
\(9x^2 + 12x + 4 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times 2 + 2^2\)
C'est de la forme \(a^2 + 2ab + b^2\) avec \(a = 3x\) et \(b = 2\)
\(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
\(9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2\)
\((3x + 2)^2 = (3x)^2 + 2 \times (3x) \times 2 + 2^2 = 9x^2 + 12x + 4\) ✓
\(9x^2 + 12x + 4 = (3x + 2)^2\)
• Trinôme carré parfait : \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\)
• Reconnaissance : Carrés aux extrêmes, double produit au centre
• Factorisation : Plus rapide que les méthodes générales
Résolution d'équation du second degré : En utilisant les identités remarquables, certaines équations peuvent se ramener à des formes simples qui permettent d'utiliser la propriété : si \(A^2 = B^2\), alors \(A = B\) ou \(A = -B\).
- Isoler le carré d'un côté de l'équation
- Appliquer la propriété : si \(X^2 = k\) (avec \(k \geq 0\)), alors \(X = \sqrt{k}\) ou \(X = -\sqrt{k}\)
- Résoudre les deux équations linéaires obtenues
- Vérifier les solutions
\((x + 2)^2 = 25\)
Si \((x + 2)^2 = 25\), alors :
\(x + 2 = \sqrt{25}\) ou \(x + 2 = -\sqrt{25}\)
\(x + 2 = 5\) ou \(x + 2 = -5\)
Première équation : \(x + 2 = 5\)
\(x = 5 - 2 = 3\)
Deuxième équation : \(x + 2 = -5\)
\(x = -5 - 2 = -7\)
Pour \(x = 3\) : \((3 + 2)^2 = 5^2 = 25\) ✓
Pour \(x = -7\) : \((-7 + 2)^2 = (-5)^2 = 25\) ✓
L'équation \((x + 2)^2 = 25\) admet deux solutions : \(x = 3\) et \(x = -7\)
Les solutions de l'équation \((x + 2)^2 = 25\) sont \(x = 3\) et \(x = -7\).
• Équation carrée : Si \(X^2 = k\) (k ≥ 0), alors \(X = \pm\sqrt{k}\)
• Solutions doubles : Une équation du second degré peut avoir 2 solutions
• Vérification : Toujours substituer les solutions dans l'équation initiale
- Carré d'une somme : \((a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\)
- Carré d'une différence : \((a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\)
- Identité de Legendre : \((a+b)(a-b) = a^2 - b^2\)
- \((a+b)^2 \neq a^2 + b^2\) (erreur fréquente)
- \((a-b)^2 \neq a^2 - b^2\) (erreur fréquente)
- La factorisation n'est possible que si la structure est exacte
- La différence de deux carrés se factorise toujours
- Le trinôme carré parfait se factorise en un carré de binôme
