Mise en facteur commun : Technique consistant à identifier un facteur commun à tous les termes d'une expression et à le mettre en évidence. \(ka + kb = k(a+b)\)
- Identifier le facteur commun dans tous les termes
- Extraire ce facteur
- Diviser chaque terme par le facteur commun
- Écrire le facteur commun multiplié par l'expression obtenue
- Vérifier en développant
\(6x^2 + 9x\)
Termes : \(6x^2\) et \(9x\)
\(6x^2 = 2 \times 3 \times x \times x\)
\(9x = 3 \times 3 \times x\)
Facteur commun : \(3x\) (car \(3x\) divise les deux termes)
\(6x^2 = 3x \times 2x\)
\(9x = 3x \times 3\)
\(6x^2 + 9x = 3x \times 2x + 3x \times 3\)
\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)
\(3x(2x + 3) = 3x \times 2x + 3x \times 3 = 6x^2 + 9x\) ✓
\(6x^2 + 9x = 3x(2x + 3)\)
• Mise en facteur : \(ka + kb = k(a+b)\)
• Recherche du facteur commun : PGCD des coefficients et variables
• Vérification : Toujours développer pour confirmer
Identité remarquable du carré d'une différence : \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\). Forme qui se reconnaît par deux carrés parfaits et un double produit au signe opposé.
- Identifier la structure : deux carrés et un double produit
- Reconnaître les termes \(a^2\), \(-2ab\) et \(b^2\)
- Vérifier que le terme central est bien le double produit
- Appliquer la formule : \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
- Vérifier en développant
\(x^2 - 10x + 25\)
On a : \(x^2\) (carré de \(x\)), \(-10x\) (terme central), \(25\) (carré de \(5\))
\(x^2 = (x)^2\) donc \(a = x\)
\(25 = (5)^2\) donc \(b = 5\)
Le terme central devrait être \(-2ab = -2 \times x \times 5 = -10x\)
C'est exactement ce que nous avons ! ✓
\(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
\(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2\)
\((x-5)^2 = x^2 - 2 \times x \times 5 + 5^2 = x^2 - 10x + 25\) ✓
\(x^2 - 10x + 25 = (x-5)^2\)
• Identité remarquable : \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\)
• Reconnaissance : Deux carrés parfaits et double produit
• Vérification : Développer le résultat pour confirmer
Identité de la différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\). Cette forme se reconnaît par une différence de deux carrés parfaits.
- Identifier qu'il s'agit d'une différence de deux carrés
- Reconnaître les termes \(a^2\) et \(b^2\)
- Extraire les racines carrées : \(a\) et \(b\)
- Appliquer la formule : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- Vérifier en développant
\(x^2 - 16\)
On a une différence de deux termes
\(x^2 = (x)^2\) est un carré parfait
\(16 = (4)^2\) est un carré parfait
\(a = x\) et \(b = 4\)
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
\((x+4)(x-4) = x^2 - 4x + 4x - 16 = x^2 - 16\) ✓
\(x^2 - 16 = (x+4)(x-4)\)
• Différence de deux carrés : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• Reconnaissance : Deux termes au carré avec un signe moins
• Application : Plus rapide que la double distributivité
Factorisation par regroupement : Technique consistant à regrouper les termes d'une expression en groupes qui ont un facteur commun, puis à factoriser chaque groupe avant de factoriser l'expression complète.
- Regrouper les termes qui ont un facteur commun
- Factoriser chaque groupe séparément
- Identifier un facteur commun entre les groupes
- Factoriser ce nouveau facteur commun
- Vérifier en développant
\(x^2 + 3x + 2x + 6\)
Regroupons intelligemment : \((x^2 + 3x) + (2x + 6)\)
Premier groupe : \(x^2 + 3x = x(x + 3)\)
Deuxième groupe : \(2x + 6 = 2(x + 3)\)
\(x^2 + 3x + 2x + 6 = x(x + 3) + 2(x + 3)\)
On voit que \((x + 3)\) est un facteur commun
\(x(x + 3) + 2(x + 3) = (x + 3)(x + 2)\)
\((x + 3)(x + 2) = x^2 + 2x + 3x + 6 = x^2 + 5x + 6\)
Et \(x^2 + 3x + 2x + 6 = x^2 + 5x + 6\) ✓
\(x^2 + 3x + 2x + 6 = (x + 3)(x + 2)\)
• Regroupement : Regrouper les termes par paires avec facteur commun
• Factorisation itérée : Factoriser d'abord par groupe, puis globalement
• Reconnaissance : Chercher des facteurs communs entre les groupes
Propriété du produit nul : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. \(A \times B = 0 \Rightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
- Identifier que l'équation est sous forme de produit égal à zéro
- Appliquer la propriété du produit nul
- Résoudre chaque équation linéaire obtenue
- Donner l'ensemble des solutions
- Vérifier les solutions
\((x+3)(x-2) = 0\)
L'équation est déjà sous forme de produit égal à zéro
Si \((x+3)(x-2) = 0\), alors :
\(x+3 = 0\) ou \(x-2 = 0\)
Première équation : \(x+3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Deuxième équation : \(x-2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Pour \(x = -3\) : \((-3+3)(-3-2) = 0 \times (-5) = 0\) ✓
Pour \(x = 2\) : \((2+3)(2-2) = 5 \times 0 = 0\) ✓
\(S = \{-3, 2\}\)
Les solutions de l'équation \((x+3)(x-2) = 0\) sont \(x = -3\) et \(x = 2\).
• Produit nul : \(A \times B = 0 \Rightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
• Équations linéaires : Résolution simple de \(x + a = 0\)
• Vérification : Toujours substituer les solutions dans l'équation initiale
- Mise en facteur commun : \(ka + kb = k(a+b)\)
- Identités remarquables : \((a+b)^2\), \((a-b)^2\), \(a^2-b^2\)
- Regroupement de termes : \(ax + ay + bx + by = a(x+y) + b(x+y)\)
- Produit nul : \(A \times B = 0 \Rightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
- \(ka + kb = k(a+b)\) (mise en facteur)
- \(a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2\) (carré d'une somme)
- \(a^2 - 2ab + b^2 = (a-b)^2\) (carré d'une différence)
- \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\) (différence de deux carrés)
- Si \(A \times B = 0\) alors \(A = 0\) ou \(B = 0\) (produit nul)
