Factorisation générale
Introduction
Découvrez comment simplifier et résoudre des expressions algébriques
Contexte et motivation
Pourquoi factoriser ?
Imagine que tu doives résoudre l'équation : x² - 5x + 6 = 0. Comment trouver les solutions ?
Comment simplifier l'expression : \(\frac{x^2 - 9}{x - 3}\) ?
Comment déterminer le signe de l'expression : x² - 4x + 3 ?
La factorisation permet de transformer une somme en produit, ce qui facilite la résolution de nombreuses questions mathématiques.
- Résoudre des équations de degré supérieur
- Simplifier des fractions rationnelles
- Déterminer le signe d'une expression
- Étudier les variations d'une fonction
- Faciliter les calculs complexes
Définition de la factorisation
Concept fondamental
Factoriser une expression algébrique, c'est la transformer en un produit de facteurs.
Si A = B × C, alors B et C sont des facteurs de A.
Par exemple : x² - 4 = (x - 2)(x + 2)
Le membre de gauche est une somme, le membre de droite est un produit.
- Simplifier les expressions
- Résoudre des équations
- Étudier le signe d'expressions
- Faciliter les calculs
- Identifier des propriétés algébriques
Méthodes de factorisation
Techniques de base
Lorsque tous les termes contiennent un facteur commun, on le met en évidence :
Exemple : 3x² + 6x = 3x(x + 2)
On identifie le facteur commun (3x) et on le met en évidence.
- (a + b)² = a² + 2ab + b² → a² + 2ab + b² = (a + b)²
- (a - b)² = a² - 2ab + b² → a² - 2ab + b² = (a - b)²
- (a + b)(a - b) = a² - b² → a² - b² = (a + b)(a - b)
Exemple : x² - 4 = (x + 2)(x - 2)
On regroupe les termes de manière à faire apparaître des facteurs communs :
Exemple : ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)
Factorisation de polynômes du second degré
Expressions quadratiques
Un polynôme du second degré s'écrit sous la forme : ax² + bx + c, où a ≠ 0.
Il peut se factoriser selon la valeur du discriminant Δ = b² - 4ac :
- Si Δ > 0 : deux racines réelles distinctes → ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂)
- Si Δ = 0 : une racine double → ax² + bx + c = a(x - x₀)²
- Si Δ < 0 : pas de racine réelle → pas de factorisation dans ℝ
Soit f(x) = x² - 5x + 6. Cherchons ses racines.
Δ = (-5)² - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 > 0
x₁ = (5 - √1)/2 = 4/2 = 2, x₂ = (5 + √1)/2 = 6/2 = 3
Donc x² - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Résolution d'équations et d'inéquations
- 2 Étude des fonctions (signe, variations)
- 3 Optimisation (recherche d'extrema)
- 4 Calcul de limites (simplification d'expressions)
- 5 Problèmes de géométrie (aires, volumes)
Un rectangle a un périmètre de 20 cm. Quelle est la dimension qui maximise l'aire ?
Soit x la largeur, alors la longueur est 10 - x. L'aire est A(x) = x(10 - x) = 10x - x².
Pour maximiser A(x), on peut factoriser : A(x) = x(10 - x). Le maximum est atteint quand x = 10 - x, donc x = 5.
Le rectangle est un carré de 5 cm × 5 cm.
Exercice d'application
Problème complet
Soit l'expression : f(x) = x² - 4x + 3.
1. Factoriser f(x).
2. Résoudre l'équation f(x) = 0.
3. Déterminer le signe de f(x).
4. Résoudre l'inéquation f(x) ≥ 0.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit f(x) = x² - 4x + 3, avec a = 1, b = -4, c = 3.
Calculons le discriminant : Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 > 0
Les racines sont : x₁ = (4 - √4)/2 = (4 - 2)/2 = 1, x₂ = (4 + √4)/2 = (4 + 2)/2 = 3
f(x) = 0 ⇔ (x - 1)(x - 3) = 0
Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
Donc x - 1 = 0 ou x - 3 = 0
Soit x = 1 ou x = 3
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
f(x) = (x - 1)(x - 3)
| x | -∞ | 1 | 3 | +∞ |
|---|---|---|---|---|
| x - 1 | - | 0 | + | + |
| x - 3 | - | - | 0 | + |
| f(x) | + | 0 | - | + |
Donc f(x) > 0 sur ]-∞, 1[ ∪ ]3, +∞[ et f(x) < 0 sur ]1, 3[.
f(x) ≥ 0 signifie que f(x) est positive ou nulle.
À partir du tableau de signes, f(x) ≥ 0 pour x ∈ ]-∞, 1] ∪ [3, +∞[.
Deuxième exercice
Problème complet
Une entreprise produit des articles dont le prix de vente unitaire est de 10€. Le coût de production pour x articles est donné par C(x) = 0.1x² + 2x + 100, où x est le nombre d'articles produits (x ≥ 0).
1. Exprimer le bénéfice B(x) en fonction de x.
2. Factoriser B(x).
3. Déterminer le nombre d'articles à produire pour que le bénéfice soit positif.
4. Calculer le nombre d'articles pour obtenir un bénéfice maximal.
Solution du deuxième exercice
Correction détaillée
Le bénéfice est la différence entre le revenu et le coût.
Revenu pour x articles : R(x) = 10x
Coût : C(x) = 0.1x² + 2x + 100
Donc : B(x) = R(x) - C(x) = 10x - (0.1x² + 2x + 100)
B(x) = 10x - 0.1x² - 2x - 100 = -0.1x² + 8x - 100
Soit B(x) = -0.1x² + 8x - 100, avec a = -0.1, b = 8, c = -100.
Δ = 8² - 4×(-0.1)×(-100) = 64 - 40 = 24 > 0
x₁ = (-8 - √24)/(-0.2) = (-8 - 2√6)/(-0.2) = (8 + 2√6)/0.2 = 40 + 10√6 ≈ 64.5
x₂ = (-8 + √24)/(-0.2) = (-8 + 2√6)/(-0.2) = (8 - 2√6)/0.2 = 40 - 10√6 ≈ 15.5
Donc B(x) = -0.1(x - (40 + 10√6))(x - (40 - 10√6))
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
B(x) = -0.1(x - 64.5)(x - 15.5)
Le coefficient -0.1 est négatif, donc B(x) est positif entre les racines.
B(x) ≥ 0 pour x ∈ [15.5, 64.5]
Comme x doit être un entier, le bénéfice est positif pour x ∈ [16, 64].
Pour une fonction du second degré B(x) = ax² + bx + c avec a < 0, le maximum est atteint en x = -b/(2a).
Soit x = -8/(2×(-0.1)) = -8/(-0.2) = 40
Le bénéfice maximal est atteint pour 40 articles produits.
B(40) = -0.1×40² + 8×40 - 100 = -160 + 320 - 100 = 60€
Techniques avancées
Méthodes complémentaires
Pour factoriser des expressions comme x⁴ - 5x² + 4, on pose X = x² et on factorise X² - 5X + 4.
On obtient X² - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4), donc x⁴ - 5x² + 4 = (x² - 1)(x² - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)
- a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
- a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
- a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²) = (a² + b²)(a + b)(a - b)
Pour factoriser un polynôme de degré 3, on peut :
- Essayer de trouver une racine évidente
- Utiliser la division de polynômes
- Appliquer des identités spécifiques
- Utiliser la méthode de Ruffini
Résumé
Points clés
- Mise en évidence d'un facteur commun
- Utilisation des identités remarquables
- Regroupement de termes
- Utilisation du discriminant pour les trinômes du second degré
- (a + b)² = a² + 2ab + b²
- (a - b)² = a² - 2ab + b²
- (a + b)(a - b) = a² - b²
- ax² + bx + c = a(x - x₁)(x - x₂) si Δ > 0
- ax² + bx + c = a(x - x₀)² si Δ = 0
- Résolution d'équations et d'inéquations
- Étude du signe d'expressions
- Optimisation de fonctions
- Calcul de limites
- Problèmes de géométrie
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences