Équations et inéquations

• Modéliser des situations réelles
• Résoudre des problèmes d'optimisation
• Déterminer des seuils ou des limites
• Étudier des phénomènes mathématiques
• Préparer à des concepts plus avancés

• Équations du premier degré : ax + b = 0
• Équations du second degré : ax² + bx + c = 0
• Équations rationnelles : contenant des fractions
• Équations irrationnelles : contenant des racines
• Équations exponentielles et logarithmiques

1. 1 Isoler le terme contenant l'inconnue
2. 2 Diviser par le coefficient de l'inconnue
3. 3 Vérifier la solution dans l'équation originale

• Si a = 0 et b ≠ 0, l'équation n'a pas de solution
• Si a = 0 et b = 0, l'équation est vérifiée pour tout x
• Si a ≠ 0, l'équation a une unique solution : x = -b/a

Pour résoudre ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0), on calcule le discriminant : Δ = b² - 4ac

• Si Δ > 0 : deux solutions réelles distinctes : x₁ = (-b - √Δ)/(2a) et x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
• Si Δ = 0 : une solution double : x₀ = -b/(2a)
• Si Δ < 0 : pas de solution réelle

• Factorisation (si possible)
• Forme canonique
• Identités remarquables
• Équations bicarrées

Une inéquation est une inégalité entre deux expressions algébriques contenant une ou plusieurs inconnues.

Résoudre une inéquation, c'est trouver l'ensemble des valeurs de l'inconnue (ou des inconnues) qui rendent l'inégalité vraie.

Par exemple : 2x + 5 < 13 est une inéquation d'inconnue x.

La solution est x < 4 car 2×3 + 5 = 11 < 13, mais 2×5 + 5 = 15 > 13.

• Inéquations du premier degré : ax + b < 0, ax + b > 0, etc.
• Inéquations du second degré : ax² + bx + c ≤ 0, ax² + bx + c ≥ 0, etc.
• Inéquations rationnelles : contenant des fractions
• Inéquations irrationnelles : contenant des racines
• Systèmes d'inéquations

1. 1 Ramener l'inéquation à la forme ax + b < 0 (ou >, ≤, ≥)
2. 2 Isoler le terme contenant l'inconnue
3. 3 Diviser par le coefficient de l'inconnue (attention au signe !)
4. 4 Exprimer la solution sous forme d'intervalle

• Si a > 0 : ax + b < 0 → x < -b/a
• Si a < 0 : ax + b < 0 → x > -b/a (inversion du sens)
• Multiplier ou diviser par un nombre négatif inverse le sens de l'inégalité
• On peut additionner ou soustraire la même quantité sans changer le sens

1. 1 Calculer le discriminant Δ = b² - 4ac
2. 2 Déterminer les racines (si Δ ≥ 0)
3. 3 Étudier le signe du trinôme selon les valeurs de x
4. 4 Conclure selon l'inéquation posée

Si a > 0 (parabole tournée vers le haut) :

• Si Δ > 0 : le trinôme est positif à l'extérieur des racines
• Si Δ = 0 : le trinôme est positif partout sauf à la racine
• Si Δ < 0 : le trinôme est toujours positif

Si a < 0 (parabole tournée vers le bas) :

• Le signe est inversé

• 1 Économie (analyse de profit, seuils de rentabilité)
• 2 Physique (trajectoires, équations du mouvement)
• 3 Ingénierie (calcul de contraintes)
• 4 Sciences sociales (analyse de comportement)
• 5 Marketing (analyse de seuils de satisfaction)

Une entreprise a un coût fixe de 1000€, un coût variable de 5€ par unité produite, et un prix de vente de 10€ par unité. Pour combien d'unités le profit est-il positif ?

Profit = Revenu - Coût = 10x - (5x + 1000) = 5x - 1000

On résout : 5x - 1000 > 0 → x > 200

L'entreprise réalise un profit positif à partir de 201 unités produites.

Revenu pour x objets : R(x) = 20x

Coût : C(x) = x² + 10x + 100

Donc : B(x) = R(x) - C(x) = 20x - (x² + 10x + 100)

B(x) = 20x - x² - 10x - 100 = -x² + 10x - 100

-x² + 10x - 100 = 0 → x² - 10x + 100 = 0

Δ = (-10)² - 4×1×100 = 100 - 400 = -300 < 0

Donc l'équation n'a pas de solution réelle.

On a B(x) = -x² + 10x - 100, donc a = -1 < 0, b = 10, c = -100

Comme Δ = -300 < 0, le trinôme n'a pas de racines réelles

Comme a < 0, le trinôme est toujours négatif

Donc B(x) < 0 pour tout x ∈ ℝ

Pour un trinôme ax² + bx + c avec a < 0, le maximum est atteint en x = -b/(2a)

Soit x = -10/(2×(-1)) = -10/(-2) = 5

Le bénéfice maximal est : B(5) = -(5)² + 10×5 - 100 = -25 + 50 - 100 = -75

Même en produisant 5 objets, l'artisan réalise une perte de 75€.

Revenu pour x articles : R(x) = 20x

Coût : C(x) = 0.5x² + 3x + 200

Donc : B(x) = R(x) - C(x) = 20x - (0.5x² + 3x + 200)

B(x) = 20x - 0.5x² - 3x - 200 = -0.5x² + 17x - 200

-0.5x² + 17x - 200 = 0 → 0.5x² - 17x + 200 = 0

Multiplions par 2 : x² - 34x + 400 = 0

Δ = (-34)² - 4×1×400 = 1156 - 1600 = -444 < 0

Donc l'équation n'a pas de solution réelle.

On a B(x) = -0.5x² + 17x - 200, donc a = -0.5 < 0, b = 17, c = -200

Comme Δ = -444 < 0, le trinôme n'a pas de racines réelles

Comme a < 0, le trinôme est toujours négatif

Donc B(x) < 0 pour tout x ∈ ℝ

Pour un trinôme ax² + bx + c avec a < 0, le maximum est atteint en x = -b/(2a)

Soit x = -17/(2×(-0.5)) = -17/(-1) = 17

Le bénéfice maximal est : B(17) = -0.5×(17)² + 17×17 - 200 = -0.5×289 + 289 - 200 = -144.5 + 89 = -55.5

Même en produisant 17 articles, l'entreprise réalise une perte de 55.5€.

Les deux entreprises étudiées sont en perte quelque soit le nombre d'articles produits.

Cela signifie que les coûts de production sont trop élevés par rapport au prix de vente.

Pour que le bénéfice soit positif, il faudrait soit augmenter le prix de vente, soit réduire les coûts de production.

Les équations et inéquations permettent d'analyser quantitativement la situation économique.

Forme : ax + b = 0

Solution : x = -b/a (si a ≠ 0)

Si a = 0 et b ≠ 0 : pas de solution

Si a = 0 et b = 0 : solution = ℝ

Forme : ax² + bx + c = 0 (a ≠ 0)

Calcul du discriminant : Δ = b² - 4ac

• Si Δ > 0 : x₁ = (-b - √Δ)/(2a), x₂ = (-b + √Δ)/(2a)
• Si Δ = 0 : x₀ = -b/(2a)
• Si Δ < 0 : pas de solution réelle

Les inéquations du premier degré se résolvent comme les équations, mais attention au sens de l'inégalité si a < 0.

Les inéquations du second degré se résolvent en étudiant le signe du trinôme.