Équation du premier degré : Équation de la forme \(ax + b = 0\) où \(a \neq 0\). La solution est \(x = -\frac{b}{a}\). Pour résoudre, on isole la variable en effectuant les mêmes opérations des deux côtés de l'égalité.
- Regrouper les termes contenant la variable d'un côté
- Regrouper les termes constants de l'autre côté
- Isoler la variable en divisant par son coefficient
- Vérifier la solution en remplaçant dans l'équation initiale
\(3x - 7 = 2x + 5\)
On soustrait \(2x\) des deux côtés :
\(3x - 2x - 7 = 2x - 2x + 5\)
\(x - 7 = 5\)
On ajoute 7 des deux côtés :
\(x - 7 + 7 = 5 + 7\)
\(x = 12\)
Remplaçons \(x = 12\) dans l'équation initiale :
À gauche : \(3 \times 12 - 7 = 36 - 7 = 29\)
À droite : \(2 \times 12 + 5 = 24 + 5 = 29\)
Les deux côtés sont égaux ✓
La solution de l'équation est \(x = 12\).
• Équilibre : On effectue la même opération des deux côtés
• Isolation : On isole la variable en annulant les termes
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation initiale
Propriété du produit nul : Si un produit de facteurs est nul, alors au moins un des facteurs est nul. \(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
- Identifier que l'équation est sous la forme \(A \times B = 0\)
- Appliquer la propriété du produit nul
- Résoudre chaque équation \(A = 0\) et \(B = 0\)
- Donner l'ensemble des solutions
\((x - 2)(x + 3) = 0\)
L'équation est sous forme de produit égal à zéro
Si \((x - 2)(x + 3) = 0\), alors :
\(x - 2 = 0\) ou \(x + 3 = 0\)
Équation 1 : \(x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
Équation 2 : \(x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3\)
Pour \(x = 2\) : \((2 - 2)(2 + 3) = 0 \times 5 = 0\) ✓
Pour \(x = -3\) : \((-3 - 2)(-3 + 3) = (-5) \times 0 = 0\) ✓
\(S = \{-3, 2\}\)
Les solutions de l'équation sont \(x = -3\) et \(x = 2\).
• Produit nul : \(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\)
• Équations linéaires : Résolution simple de \(x + a = 0\)
• Ensemble des solutions : Toutes les valeurs trouvées
Inéquation du premier degré : Inéquation de la forme \(ax + b > 0\) (ou <, ≤, ≥). La résolution suit les mêmes principes que pour les équations, sauf qu'on doit inverser le sens de l'inégalité si on multiplie ou divise par un nombre négatif.
- Regrouper les termes en x d'un côté de l'inégalité
- Regrouper les termes constants de l'autre côté
- Diviser par le coefficient de x en respectant la règle des signes
- Exprimer la solution sous forme d'intervalle
\(2x - 5 > 3x + 1\)
On soustrait \(3x\) des deux côtés :
\(2x - 3x - 5 > 3x - 3x + 1\)
\(-x - 5 > 1\)
On ajoute 5 des deux côtés :
\(-x - 5 + 5 > 1 + 5\)
\(-x > 6\)
Attention : on divise par un nombre négatif, donc on inverse le sens de l'inégalité :
\(\frac{-x}{-1} < \frac{6}{-1}\)
\(x < -6\)
Testons avec \(x = -7\) (qui est < -6) :
À gauche : \(2 \times (-7) - 5 = -14 - 5 = -19\)
À droite : \(3 \times (-7) + 1 = -21 + 1 = -20\)
\(-19 > -20\) ✓
L'ensemble des solutions est \(x \in ]-\infty, -6[\).
• Inégalité : Même opération des deux côtés
• Changement de signe : Inverser le sens si multiplication/division par négatif
• Intervalle : Solution exprimée sous forme d'intervalle
Tableau de signes : Méthode pour déterminer le signe d'un produit ou quotient d'expressions. On détermine le signe de chaque facteur, puis on applique la règle des signes.
- Identifier les facteurs du produit
- Résoudre chaque facteur égal à zéro pour trouver les racines
- Placer les racines sur une droite graduée
- Étudier le signe de chaque facteur sur chaque intervalle
- Appliquer la règle des signes pour le produit
- Identifier les intervalles où le produit est positif
\((x - 1)(x + 4) > 0\)
Facteurs : \(x - 1\) et \(x + 4\)
\(x - 1 = 0 \Rightarrow x = 1\)
\(x + 4 = 0 \Rightarrow x = -4\)
| x | -∞ | -4 | 1 | +∞ | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| x + 4 | - | 0 | + | + | |||
| x - 1 | - | - | 0 | + | |||
| (x-1)(x+4) | + | 0 | - | 0 | + |
On cherche où \((x-1)(x+4) > 0\), c'est-à-dire où le produit est strictement positif
Cela correspond aux intervalles \(]-\infty, -4[\) et \(]1, +\infty[\)
On exclut les valeurs où le produit est nul
Solution : \(x \in ]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[\)
L'ensemble des solutions est \(x \in ]-\infty, -4[ \cup ]1, +\infty[\).
• Tableau de signes : Méthode systématique pour les produits
• Règle des signes : + × + = +, - × - = +, + × - = -
• Union d'intervalles : Solution discontinue
Équation du second degré : Équation de la forme \(ax^2 + bx + c = 0\). Pour la résoudre, on peut factoriser si possible, utiliser la méthode du discriminant, ou reconnaître une identité remarquable.
- Essayer de factoriser en cherchant deux nombres dont le produit est c et la somme est b
- Si factorisation possible, appliquer la propriété du produit nul
- Si impossible, utiliser la méthode du discriminant
- Vérifier les solutions trouvées
\(x^2 - 5x + 6 = 0\)
On cherche deux nombres dont le produit est 6 et la somme est -5
Les nombres sont -2 et -3 car : \((-2) \times (-3) = 6\) et \((-2) + (-3) = -5\)
\(x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3)\)
Donc : \((x - 2)(x - 3) = 0\)
\(x - 2 = 0\) ou \(x - 3 = 0\)
\(x = 2\) ou \(x = 3\)
Pour \(x = 2\) : \(2^2 - 5 \times 2 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0\) ✓
Pour \(x = 3\) : \(3^2 - 5 \times 3 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0\) ✓
Les solutions de l'équation sont \(x = 2\) et \(x = 3\).
• Factorisation : Chercher deux nombres pour produire c et sommer à b
• Produit nul : Utiliser la propriété pour résoudre
• Vérification : Toujours substituer les solutions
- Équation du premier degré : Isoler la variable
- Équation-produit : Appliquer la propriété du produit nul
- Inéquation du premier degré : Même méthode que pour les équations, attention au signe
- Inéquation-produit : Tableau de signes
- Équation du second degré : Factorisation ou discriminant
- \(A \times B = 0 \Leftrightarrow A = 0\) ou \(B = 0\) (propriété du produit nul)
- Quand on multiplie ou divise une inéquation par un nombre négatif, on change le sens
- Le tableau de signes permet de résoudre les inéquations-produit
- Une équation du second degré peut avoir 0, 1 ou 2 solutions
- La solution d'une inéquation est généralement un intervalle ou une union d'intervalles
