Simplification de racine : On décompose le radicande en facteurs où apparaissent des carrés parfaits.
- Décomposer le nombre sous la racine en facteurs premiers
- Identifier les carrés parfaits
- Extraire les racines des carrés parfaits
- Laisser sous la racine ce qui ne peut pas être simplifié
\(72 = 8 \times 9 = 8 \times 3^2 = 4 \times 2 \times 3^2 = 2^2 \times 2 \times 3^2\)
Ou plus simplement : \(72 = 36 \times 2 = 6^2 \times 2\)
\(\sqrt{72} = \sqrt{36 \times 2} = \sqrt{36} \times \sqrt{2}\)
\(\sqrt{36} = 6\), donc \(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
\(\sqrt{72} = 6\sqrt{2}\)
• Décomposition : Chercher les carrés parfaits dans la décomposition
• Propriété : \(\sqrt{ab} = \sqrt{a}\sqrt{b}\) pour \(a, b \geq 0\)
• Simplification : Extraire la racine des carrés parfaits
Produit de racines : \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\) pour \(a, b \geq 0\)
\(\sqrt{18} \times \sqrt{2} = \sqrt{18 \times 2}\)
\(18 \times 2 = 36\)
\(\sqrt{36} = 6\)
\(\sqrt{18} \times \sqrt{2} = 6\)
• Propriété : \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
• Calcul : Multiplier les nombres sous la racine
• Simplification : Calculer la racine si c'est un carré parfait
Quotient de racines : \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\) pour \(a \geq 0, b > 0\)
\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{50}{2}}\)
\(\frac{50}{2} = 25\)
\(\sqrt{25} = 5\)
\(\frac{\sqrt{50}}{\sqrt{2}} = 5\)
• Propriété : \(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)
• Calcul : Diviser les nombres sous la racine
• Simplification : Calculer la racine si c'est un carré parfait
Rationalisation : Éliminer la racine du dénominateur en multipliant par l'expression conjuguée.
Dans \(\frac{3}{\sqrt{5}}\), le dénominateur est \(\sqrt{5}\)
\(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}} \times \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}}\)
Numérateur : \(3 \times \sqrt{5} = 3\sqrt{5}\)
Dénominateur : \(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = 5\)
\(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\)
\(\frac{3}{\sqrt{5}} = \frac{3\sqrt{5}}{5}\)
• Rationalisation : Multiplier numérateur et dénominateur par la racine du dénominateur
• Propriété : \(\sqrt{a} \times \sqrt{a} = a\)
• Objectif : Éliminer la racine du dénominateur
Addition de racines : On ne peut additionner que des racines semblables (même radicande).
Tous les termes contiennent \(\sqrt{3}\), donc ils sont semblables
\(\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = (1 + 2 - 1)\sqrt{3}\)
\(1 + 2 - 1 = 2\)
\(2\sqrt{3}\)
\(\sqrt{3} + 2\sqrt{3} - \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
• Identité : On ne peut additionner que des racines identiques
• Opération : Additionner les coefficients devant les racines identiques
• Simplification : Conserver la racine commune
- Simplification : Décomposer en facteurs et extraire les carrés parfaits
- Addition : Seulement possible pour des racines identiques
- Multiplication : Utiliser \(\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)
- Rationalisation : Multiplier par l'expression conjuguée
- On ne peut additionner que des racines identiques
- Le radicande (nombre sous la racine) doit toujours être positif
- \(\sqrt{a^2} = |a|\) (valeur absolue)
- La racine carrée est toujours positive ou nulle
- On peut extraire un facteur carré parfait de la racine
