Propriétés fondamentales
\( \sqrt{a \cdot b} = \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} \)
Avec a, b ≥ 0
\( \sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} \)
Avec a ≥ 0, b > 0
Exemple :
\( \sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{3} = 2\sqrt{3} \)
Opérations avec racines
Multiplication
Division
Addition/soustraction
Rationalisation
Simplifications
Décomposition
√48 = √(16×3) = 4√3
Puissances
(√a)² = a
Identités
√a² = |a|
Racine n-ième
√a = a^(1/2)
Règles importantes
\( \sqrt{a} + \sqrt{b} \neq \sqrt{a + b} \)
\( \sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab} \)
\( \sqrt{a^2} = |a| \)
Méthodes de manipulation
Simplification : \( \sqrt{a^2 \cdot b} = a\sqrt{b} \)
Addition : \( a\sqrt{c} + b\sqrt{c} = (a+b)\sqrt{c} \)
Rationalisation : \( \frac{1}{\sqrt{a}} = \frac{\sqrt{a}}{a} \)
Conjugaison : \( \frac{1}{\sqrt{a} + \sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a} - \sqrt{b}}{a - b} \)
Conseils & Astuces
Décomposer en facteurs premiers
Rechercher les carrés parfaits
Multiplier par le conjugué
Ne pas additionner des racines différentes
Vérifier les domaines de définition
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Additionner des racines différentes : √a + √b ≠ √(a+b)
Erreur 2 :
Oublier la valeur absolue : √(a²) = |a|
Erreur 3 :
Division par zéro après rationalisation
Exemples complets
Exemple 1 : Simplification
\( \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{2} = 6\sqrt{2} \)
Exemple 2 : Opérations
\( 3\sqrt{5} + 2\sqrt{5} = (3+2)\sqrt{5} = 5\sqrt{5} \)
\( \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 \)
\( \sqrt{18} \cdot \sqrt{2} = \sqrt{18 \cdot 2} = \sqrt{36} = 6 \)
Exemple 3 : Rationalisation
\( \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3} \)
Exemple 4 : Expression complexe
\( \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{5} + \sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{\sqrt{5} - \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{5 - 3} = \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{2} \)
