Identité remarquable : \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
- Identifier la forme \(a^2 - b^2\) (différence de deux carrés)
- Identifier \(a\) et \(b\) dans l'expression
- Appliquer l'identité remarquable
\((x+2)^2 - 9 = (x+2)^2 - 3^2\), donc \(a = (x+2)\) et \(b = 3\)
\(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
\((x+2)^2 - 3^2 = ((x+2)+3)((x+2)-3)\)
\(((x+2)+3) = (x+5)\) et \(((x+2)-3) = (x-1)\)
\((x+5)(x-1)\)
\((x+2)^2 - 9 = (x+5)(x-1)\)
• Reconnaissance : Identifier la différence de deux carrés
• Identité : Appliquer correctement \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• Simplification : Réduire les expressions obtenues
Changement de variable : Substituer une expression complexe par une variable simple pour simplifier les calculs.
Posons \(X = x^2\), alors \(x^4 = X^2\)
L'expression devient : \(X^2 - 16\)
\(X^2 - 16 = X^2 - 4^2 = (X+4)(X-4)\)
\((X+4)(X-4) = (x^2+4)(x^2-4)\)
\(x^2-4 = x^2-2^2 = (x+2)(x-2)\)
\(x^2+4\) ne se factorise pas dans \(\mathbb{R}\)
\(x^4 - 16 = (x^2+4)(x+2)(x-2)\)
• Substitution : Remplacer une expression complexe par une variable simple
• Identité : Appliquer \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
• Continuation : Poursuivre la factorisation si possible
Regroupement de termes : Regrouper les termes pour former des expressions factorisables.
\(x^2 + 6x + 9 - y^2 = (x^2 + 6x + 9) - y^2\)
\(x^2 + 6x + 9 = x^2 + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^2 = (x+3)^2\)
\((x+3)^2 - y^2\) est de la forme \(a^2 - b^2\) avec \(a = (x+3)\) et \(b = y\)
\((x+3)^2 - y^2 = ((x+3)+y)((x+3)-y)\)
\(((x+3)+y) = (x+y+3)\) et \(((x+3)-y) = (x-y+3)\)
\(x^2 + 6x + 9 - y^2 = (x+y+3)(x-y+3)\)
• Regroupement : Regrouper les termes pour former des expressions reconnaissables
• Identité : Reconnaître les identités remarquables
• Différence : Appliquer \(a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)\)
Cube d'une somme : \(a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3\)
\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) ressemble à \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
\(a = x\), \(b = 1\)
\(a^3 = x^3\), \(3a^2b = 3x^2 \cdot 1 = 3x^2\), \(3ab^2 = 3x \cdot 1^2 = 3x\), \(b^3 = 1^3 = 1\)
\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) correspond exactement à \((x-1)^3\)
\((x-1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1\) ✓
\(x^3 - 3x^2 + 3x - 1 = (x-1)^3\)
• Reconnaissance : Identifier la structure d'un cube d'une somme ou différence
• Identité : Utiliser \((a-b)^3 = a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3\)
• Vérification : Toujours vérifier en développant le résultat
Équation bicarrée : Équation de la forme \(P(x^2) = 0\) résoluble par changement de variable.
Posons \(X = x^2 + 3x\)
L'équation devient : \(X^2 - 4X - 12 = 0\)
\(\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 16 + 48 = 64\)
\(X_1 = \frac{4 + \sqrt{64}}{2} = \frac{4 + 8}{2} = 6\)
\(X_2 = \frac{4 - \sqrt{64}}{2} = \frac{4 - 8}{2} = -2\)
Soit \(x^2 + 3x = 6\) soit \(x^2 + 3x = -2\)
\(\Delta = 9 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 9 + 24 = 33\)
\(x_1 = \frac{-3 + \sqrt{33}}{2}\) et \(x_2 = \frac{-3 - \sqrt{33}}{2}\)
\(\Delta = 9 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1\)
\(x_3 = \frac{-3 + 1}{2} = -1\) et \(x_4 = \frac{-3 - 1}{2} = -2\)
Les solutions sont : \(x_1 = \frac{-3-\sqrt{33}}{2}\), \(x_2 = -2\), \(x_3 = -1\), \(x_4 = \frac{-3+\sqrt{33}}{2}\)
• Changement : Substituer une expression complexe par une variable simple
• Résolution : Résoudre l'équation quadratique obtenue
• Retour : Résoudre les équations avec la variable initiale
- Changement de variable : Substituer une expression complexe par une variable simple
- Regroupement : Regrouper les termes pour faire apparaître des facteurs communs
- Identité remarquable : Reconnaître les structures connues pour factoriser
- Équations bicarrées : Résoudre par changement de variable en équation du second degré
- La factorisation permet de résoudre des équations en utilisant le principe du produit nul
- Un changement de variable doit être justifié et inversé correctement
- Les identités remarquables sont des outils fondamentaux à connaître par cœur
- La vérification est essentielle pour s'assurer de la validité des solutions
