Techniques d'algèbre efficace

• Simplifier les expressions pour les rendre plus lisibles
• Résoudre des équations et inéquations
• Identifier les propriétés des fonctions
• Préparer à des concepts plus avancés
• Éviter des erreurs de calcul

Soit l'expression : (x + 3)² - (x - 2)(x + 5)

Développons chaque terme :

(x + 3)² = x² + 6x + 9

(x - 2)(x + 5) = x² + 5x - 2x - 10 = x² + 3x - 10

Donc : (x + 3)² - (x - 2)(x + 5) = (x² + 6x + 9) - (x² + 3x - 10)

= x² + 6x + 9 - x² - 3x + 10 = 3x + 19

La factorisation consiste à transformer une somme en produit.

On cherche d'abord un facteur commun à tous les termes :

Exemple : 3x² + 6x = 3x(x + 2)

On identifie le facteur 3x qui est commun aux deux termes.

On peut aussi reconnaître des formes types :

• a² + 2ab + b² = (a + b)²
• a² - 2ab + b² = (a - b)²
• a² - b² = (a + b)(a - b)

Exemple : x² - 4x + 4 = (x - 2)² (forme a² - 2ab + b²)

Quand il n'y a pas de facteur commun évident, on peut regrouper les termes :

Exemple : ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y)(a + b)

On regroupe les termes par paires et on factorise.

Pour résoudre une équation du premier degré, on isole l'inconnue :

Exemple : 3x + 5 = 11

3x = 11 - 5 = 6

x = 6/3 = 2

Un produit de facteurs est nul si et seulement si au moins un des facteurs est nul.

Exemple : (x - 3)(x + 2) = 0

Donc x - 3 = 0 ou x + 2 = 0

Soit x = 3 ou x = -2

Les règles sont similaires aux équations, mais attention au sens de l'inégalité :

• On peut ajouter ou soustraire la même quantité des deux côtés
• On peut multiplier ou diviser par un nombre strictement positif
• Si on multiplie ou divise par un nombre strictement négatif, on change le sens de l'inégalité

Exemple : -2x + 5 > 1

-2x > 1 - 5 = -4

Divisons par -2 (négatif), donc on change le sens : x < 2

Pour résoudre des inéquations avec des produits ou quotients :

1. Factoriser l'expression
2. Identifier les valeurs interdites (dénominateur nul)
3. Chercher les zéros des facteurs
4. Construire un tableau de signes
5. Donner la solution

• 1 Économie (analyse de profit, seuils de rentabilité)
• 2 Physique (équations du mouvement)
• 3 Informatique (algorithmes de tri)
• 4 Ingénierie (calcul de contraintes)
• 5 Sciences sociales (analyse de comportement)

Une entreprise a un coût fixe de 1000€, un coût variable de 5€ par unité produite, et un prix de vente de 10€ par unité. Pour combien d'unités le profit est-il positif ?

Profit = Revenu - Coût = 10x - (5x + 1000) = 5x - 1000

On résout : 5x - 1000 > 0 → x > 200

L'entreprise réalise un profit positif à partir de 201 unités produites.

f(x) = (2x + 3)(x - 1) - (x + 2)(x - 1)

=(2x² - 2x + 3x - 3) - (x² - x + 2x - 2)

= (2x² + x - 3) - (x² + x - 2)

= 2x² + x - 3 - x² - x + 2

= x² - 1

f(x) = x² - 1 = x² - 1²

On reconnaît la forme a² - b² avec a = x et b = 1

Donc : f(x) = (x + 1)(x - 1)

f(x) = 0 ⇔ (x + 1)(x - 1) = 0

Donc x + 1 = 0 ou x - 1 = 0

Soit x = -1 ou x = 1

f(x) = (x + 1)(x - 1)

On construit un tableau de signes :

Donc f(x) > 0 pour x ∈ ]-∞, -1[ ∪ ]1, +∞[

Revenu pour x objets : R(x) = 20x

Coût : C(x) = x² + 3x + 100

Donc : B(x) = R(x) - C(x) = 20x - (x² + 3x + 100)

B(x) = 20x - x² - 3x - 100 = -x² + 17x - 100

Pour factoriser B(x) = -x² + 17x - 100, on cherche les racines de l'équation -x² + 17x - 100 = 0

Δ = 17² - 4×(-1)×(-100) = 289 - 400 = -111 < 0

Donc le trinôme n'a pas de racine réelle, et ne peut pas être factorisé dans ℝ.

On a B(x) = -x² + 17x - 100, donc a = -1 < 0, b = 17, c = -100

Comme Δ = -111 < 0, le trinôme n'a pas de racines réelles

Comme a < 0, le trinôme est toujours négatif

Donc B(x) < 0 pour tout x ∈ ℝ

Pour un trinôme ax² + bx + c avec a < 0, le maximum est atteint en x = -b/(2a)

Soit x = -17/(2×(-1)) = -17/(-2) = 8.5

Le bénéfice maximal est : B(8.5) = -(8.5)² + 17×8.5 - 100 = -72.25 + 144.5 - 100 = -27.75

Même en produisant 8 ou 9 objets, l'entreprise réalise une perte de 27.75€.

Pour factoriser des expressions comme x⁴ - 5x² + 4, on pose X = x² et on factorise X² - 5X + 4.

On obtient X² - 5X + 4 = (X - 1)(X - 4), donc x⁴ - 5x² + 4 = (x² - 1)(x² - 4) = (x - 1)(x + 1)(x - 2)(x + 2)

• a³ + b³ = (a + b)(a² - ab + b²)
• a³ - b³ = (a - b)(a² + ab + b²)
• a⁴ - b⁴ = (a² + b²)(a² - b²) = (a² + b²)(a + b)(a - b)

Pour factoriser un polynôme de degré 3, on peut :

• Essayer de trouver une racine évidente
• Utiliser la division de polynômes
• Appliquer des identités spécifiques
• Utiliser la méthode de Ruffini

• Utiliser la distributivité simple et double
• Appliquer les identités remarquables
• Reconnaître les formes types

• Identifier un facteur commun
• Reconnaître une identité remarquable
• Regrouper des termes
• Utiliser la méthode du discriminant pour les trinômes

• Équations produit nul : utiliser la règle du produit nul
• Inéquations : tableau de signes ou analyse de la fonction
• Équations de degré supérieur : factorisation puis produit nul