Résolution de systèmes linéaires

Introduction

RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES

Trouver les solutions simultanées d'équations

Découvrez comment résoudre des systèmes d'équations simultanément

Équations

Solutions

Calculs

Contexte et motivation

Pourquoi résoudre des systèmes ?

SITUATION PROBLÉMATIQUE

Exemple introductif

Un magasin vend des articles A et B. Le lundi, 3 articles A et 2 articles B ont été vendus pour un total de 31€. Le mardi, 2 articles A et 4 articles B ont été vendus pour un total de 34€.

Quel est le prix de chaque article ?

Soit x le prix de A et y le prix de B. On a le système :
3x + 2y = 31
2x + 4y = 34

La résolution de ce système permet de trouver x et y.

Les systèmes linéaires permettent de résoudre des problèmes avec plusieurs inconnues

Importance des systèmes linéaires

Modéliser des situations avec plusieurs inconnues
Résoudre des problèmes d'équilibre
Étudier des interactions entre variables
Optimiser des processus
Prévoir des résultats dans des contextes complexes

Définition d'un système linéaire

Concept fondamental

DÉFINITION MATHÉMATIQUE

Définition

Un système linéaire de n équations à p inconnues est un ensemble d'équations de la forme :

\[ \begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \cdots + a_{1p}x_p = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \cdots + a_{2p}x_p = b_2 \\ \vdots \\ a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \cdots + a_{np}x_p = b_n \end{cases} \]

Les coefficients aᵢⱼ et bᵢ sont des nombres réels.

Résoudre un système, c'est trouver les valeurs des inconnues qui vérifient toutes les équations

Cas particulier : système 2×2

Un système linéaire 2×2 a la forme :

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \]

Il peut avoir une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions.

Méthodes de résolution

Techniques de base

MÉTHODES PRINCIPALES

1. Méthode par substitution

On exprime une inconnue en fonction des autres à partir d'une équation, puis on remplace dans les autres équations.

Exemple :
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
De la première équation : x = 5 - y
Remplaçons dans la deuxième : 2(5 - y) - y = 1 → 10 - 2y - y = 1 → 10 - 3y = 1 → y = 3
Donc x = 5 - 3 = 2

Solution : x = 2, y = 3

2. Méthode par combinaison linéaire

On multiplie les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue.

Exemple :
\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
Additionnons les deux équations : (x + y) + (2x - y) = 5 + 1 → 3x = 6 → x = 2
Remplaçons dans la première : 2 + y = 5 → y = 3

3. Méthode graphique

On trace les droites correspondant aux équations et on lit l'intersection.

Utile pour visualiser le système mais moins précis pour des calculs exacts.

Exemple concret

Application numérique

EXEMPLE DÉTAILLÉ

Situation

Un fermier possède des poules et des lapins. Il compte 17 têtes et 48 pattes. Combien a-t-il de poules et de lapins ?

Soit x le nombre de poules et y le nombre de lapins.

Chaque animal a 1 tête, donc : x + y = 17

Chaque poule a 2 pattes et chaque lapin a 4 pattes, donc : 2x + 4y = 48

On résout le système :
\(\begin{cases} x + y = 17 \\ 2x + 4y = 48 \end{cases}\)

Résolution par substitution

1 De la première équation : x = 17 - y
2 Remplaçons dans la deuxième : 2(17 - y) + 4y = 48
3 34 - 2y + 4y = 48 → 34 + 2y = 48 → 2y = 14 → y = 7
4 Donc x = 17 - 7 = 10

Le fermier a 10 poules et 7 lapins

Résolution par combinaison linéaire

Méthode de combinaison

PRINCIPE DE LA MÉTHODE

Procédure

1. Multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue

2. Additionner ou soustraire les équations pour éliminer l'inconnue

3. Résoudre l'équation obtenue à une inconnue

4. Remplacer dans une des équations initiales pour trouver l'autre inconnue

Exemple détaillé

Résolvons le système :
\(\begin{cases} 3x + 2y = 7 \\ 2x - 3y = 1 \end{cases}\)

Pour éliminer x, multiplions la première équation par 2 et la deuxième par 3 :

\(\begin{cases} 6x + 4y = 14 \\ 6x - 9y = 3 \end{cases}\)

Soustrayons la deuxième de la première : (6x + 4y) - (6x - 9y) = 14 - 3

Donc : 13y = 11 → y = 11/13

Remplaçons dans la première équation : 3x + 2(11/13) = 7 → 3x + 22/13 = 7 → 3x = 7 - 22/13 = (91 - 22)/13 = 69/13 → x = 23/13

Solution : x = 23/13, y = 11/13

Systèmes 3×3

Systèmes à trois inconnues

FORME GÉNÉRALE

Système linéaire 3×3

Un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues a la forme :

\[ \begin{cases} a_{11}x + a_{12}y + a_{13}z = b_1 \\ a_{21}x + a_{22}y + a_{23}z = b_2 \\ a_{31}x + a_{32}y + a_{33}z = b_3 \end{cases} \]

La résolution peut se faire par combinaisons linéaires successives.

Exemple

Résolvons le système :
\(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}\)

On peut éliminer z entre les équations 1 et 2, puis entre 1 et 3, pour obtenir un système 2×2.

Équation 1 - Équation 2 : (x + y + z) - (2x - y + z) = 6 - 3 → -x + 2y = 3

Équation 1 + Équation 3 : (x + y + z) + (x + 2y - z) = 6 + 1 → 2x + 3y = 7

On résout : \(\begin{cases} -x + 2y = 3 \\ 2x + 3y = 7 \end{cases}\)

Donc x = 2y - 3, et 2(2y - 3) + 3y = 7 → 4y - 6 + 3y = 7 → 7y = 13 → y = 13/7

Puis x = 2(13/7) - 3 = 26/7 - 21/7 = 5/7

Enfin, dans la première équation : 5/7 + 13/7 + z = 6 → 18/7 + z = 6 → z = 6 - 18/7 = 24/7

Solution : x = 5/7, y = 13/7, z = 24/7

Applications concrètes

Utilisations pratiques

DOMAINES D'APPLICATION

Domaines d'utilisation

1 Économie (modèles d'équilibre)
2 Physique (systèmes d'équations)
3 Informatique (algorithmes)
4 Ingénierie (modélisation)
5 Sciences sociales (analyses)

Exemple : gestion de stock

Une entreprise vend trois produits A, B, C. Le lundi, elle vend 2A + 3B + 1C pour 45€. Le mardi, elle vend 1A + 2B + 4C pour 52€. Le mercredi, elle vend 3A + 1B + 2C pour 41€.

Soit x, y, z les prix unitaires de A, B, C. On a le système :
\(\begin{cases} 2x + 3y + z = 45 \\ x + 2y + 4z = 52 \\ 3x + y + 2z = 41 \end{cases}\)

La résolution permet de déterminer le prix de chaque produit.

Exercice d'application

Problème complet

ÉNONCÉ

Question

Un libraire vend des romans, des bandes dessinées et des mangas. Un client achète 3 romans, 2 bandes dessinées et 1 manga pour 27€. Un autre client achète 1 roman, 1 bande dessinée et 2 mangas pour 18€. Un troisième client achète 2 romans, 3 bandes dessinées et 1 manga pour 25€.

1. Écrire le système d'équations correspondant.

2. Résoudre le système pour déterminer le prix de chaque type de livre.

3. Calculer le prix pour 2 romans, 1 bande dessinée et 3 mangas.

Solution de l'exercice

Correction détaillée

QUESTION 1 : ÉCRITURE DU SYSTÈME

Identification des inconnues

Soit x le prix d'un roman, y le prix d'une bande dessinée, et z le prix d'un manga.

\[ \begin{cases} 3x + 2y + z = 27 \\ x + y + 2z = 18 \\ 2x + 3y + z = 25 \end{cases} \]

QUESTION 2 : RÉSOLUTION DU SYSTÈME

Méthode par combinaisons

Équation 1 - Équation 3 : (3x + 2y + z) - (2x + 3y + z) = 27 - 25 → x - y = 2 → x = y + 2

Remplaçons dans les équations 2 et 3 :

Équation 2 : (y + 2) + y + 2z = 18 → 2y + 2z = 16 → y + z = 8

Équation 3 : 2(y + 2) + 3y + z = 25 → 2y + 4 + 3y + z = 25 → 5y + z = 21

Nouveau système : \(\begin{cases} y + z = 8 \\ 5y + z = 21 \end{cases}\)

Soustraction : (5y + z) - (y + z) = 21 - 8 → 4y = 13 → y = 13/4 = 3.25

Donc z = 8 - y = 8 - 3.25 = 4.75

Et x = y + 2 = 3.25 + 2 = 5.25

Roman : 5.25€, BD : 3.25€, Manga : 4.75€

Suite de la solution

Correction détaillée (suite)

VÉRIFICATION DES SOLUTIONS

Contrôle des calculs

Vérifions avec x = 5.25, y = 3.25, z = 4.75 :

Équation 1 : 3(5.25) + 2(3.25) + 4.75 = 15.75 + 6.5 + 4.75 = 27 ✓

Équation 2 : 5.25 + 3.25 + 2(4.75) = 5.25 + 3.25 + 9.5 = 18 ✓

Équation 3 : 2(5.25) + 3(3.25) + 4.75 = 10.5 + 9.75 + 4.75 = 25 ✓

Les solutions sont correctes.

QUESTION 3 : CALCUL FINAL

Calcul du prix demandé

Prix pour 2 romans, 1 BD et 3 mangas :

2x + y + 3z = 2(5.25) + 3.25 + 3(4.75) = 10.5 + 3.25 + 14.25 = 28

Prix = 28€

Deuxième exercice

Problème complet

ÉNONCÉ

Question

Un jardinier cultive trois types de fleurs : roses, tulipes et marguerites. Le lundi, il plante 2 roses, 3 tulipes et 1 marguerite pour un coût total de 18€. Le mardi, il plante 1 rose, 2 tulipes et 2 marguerites pour un coût total de 16€. Le mercredi, il plante 3 roses, 1 tulipe et 1 marguerite pour un coût total de 19€.

1. Écrire le système d'équations correspondant.

2. Résoudre le système pour déterminer le prix de chaque type de fleur.

3. Calculer le coût pour planter 4 roses, 2 tulipes et 3 marguerites.

Solution du deuxième exercice

Correction détaillée

QUESTION 1 : ÉCRITURE DU SYSTÈME

Identification des inconnues

Soit x le prix d'une rose, y le prix d'une tulipe, et z le prix d'une marguerite.

\[ \begin{cases} 2x + 3y + z = 18 \\ x + 2y + 2z = 16 \\ 3x + y + z = 19 \end{cases} \]

QUESTION 2 : RÉSOLUTION PAR COMBINAISON

Méthode de résolution

Équation 1 - Équation 3 : (2x + 3y + z) - (3x + y + z) = 18 - 19 → -x + 2y = -1 → x = 2y + 1

Remplaçons dans les équations 2 et 3 :

Équation 2 : (2y + 1) + 2y + 2z = 16 → 4y + 2z = 15 → 2y + z = 7.5

Équation 3 : 3(2y + 1) + y + z = 19 → 6y + 3 + y + z = 19 → 7y + z = 16

Nouveau système : \(\begin{cases} 2y + z = 7.5 \\ 7y + z = 16 \end{cases}\)

Soustraction : (7y + z) - (2y + z) = 16 - 7.5 → 5y = 8.5 → y = 1.7

Donc z = 7.5 - 2y = 7.5 - 3.4 = 4.1

Et x = 2y + 1 = 3.4 + 1 = 4.4

Rose : 4.40€, Tulipe : 1.70€, Marguerite : 4.10€

Suite de la solution exercice 2

Correction détaillée (suite)

VÉRIFICATION DES RÉSULTATS

Contrôle des calculs

Vérifions avec x = 4.4, y = 1.7, z = 4.1 :

Équation 1 : 2(4.4) + 3(1.7) + 4.1 = 8.8 + 5.1 + 4.1 = 18 ✓

Équation 2 : 4.4 + 2(1.7) + 2(4.1) = 4.4 + 3.4 + 8.2 = 16 ✓

Équation 3 : 3(4.4) + 1.7 + 4.1 = 13.2 + 1.7 + 4.1 = 19 ✓

Les solutions sont correctes.

QUESTION 3 : CALCUL FINAL

Calcul du coût demandé

Coût pour 4 roses, 2 tulipes et 3 marguerites :

4x + 2y + 3z = 4(4.4) + 2(1.7) + 3(4.1) = 17.6 + 3.4 + 12.3 = 33.3

Coût = 33.30€

Propriétés importantes

Propriétés clés

PROPRIÉTÉS DES SYSTÈMES LINÉAIRES

Nombre de solutions

Un système peut avoir une solution unique (système compatible déterminé)
Un système peut avoir une infinité de solutions (système compatible indéterminé)
Un système peut ne pas avoir de solution (système incompatible)

Stabilité des solutions

Les solutions d'un système linéaire sont stables
De petites modifications des coefficients entraînent de petites modifications des solutions
La résolution peut se faire de manière systématique

Méthodes de vérification

Pour vérifier la solution d'un système :

Remplacer les valeurs trouvées dans chaque équation
Vérifier que les égalités sont satisfaites
Utiliser des outils graphiques pour visualiser la solution

Résumé

Points clés

MÉTHODES DE RÉSOLUTION

Méthode par substitution

Exprimer une inconnue en fonction des autres à partir d'une équation, puis remplacer dans les autres équations.

\[ \begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \Rightarrow x = 5 - y \Rightarrow 2(5 - y) - y = 1 \]

Méthode par combinaison linéaire

Multiplier les équations par des coefficients appropriés pour éliminer une inconnue.

\[ \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \Rightarrow \text{Multiplier pour éliminer } x \text{ ou } y \]

Systèmes à n équations

On résout en éliminant successivement les inconnues pour obtenir un système triangulaire.

On peut utiliser la méthode de Gauss-Jordan pour des systèmes plus complexes.

Maîtrisez ces méthodes pour résoudre efficacement les systèmes linéaires !

Conclusion

Félicitations !

FÉLICITATIONS !

MAÎTRISE DES SYSTÈMES LINÉAIRES

Vous comprenez maintenant comment résoudre des systèmes d'équations !

Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences

Compris

Retenu

Appliqué