Applications de systèmes d'équations

• Modéliser des situations réelles avec plusieurs variables
• Résoudre des problèmes d'équilibre
• Calculer des prix, des quantités, des proportions
• Optimiser des processus
• Prévoir des résultats dans des contextes complexes

Dans le problème du magasin, les inconnues sont les prix des articles A et B.

On appelle x le prix de A et y le prix de B.

Les conditions sont : 3x + 2y = 31 et 2x + 4y = 34.

Le système est : \(\begin{cases} 3x + 2y = 31 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}\)

1 Le système est : \(\begin{cases} 3x + 2y = 31 \\ 2x + 4y = 34 \end{cases}\)
2 Résolvons par substitution : de la première équation, y = (31 - 3x)/2
3 Remplaçons dans la deuxième : 2x + 4×(31 - 3x)/2 = 34 → 2x + 2(31 - 3x) = 34 → 2x + 62 - 6x = 34 → -4x = -28 → x = 7
4 Donc y = (31 - 3×7)/2 = (31 - 21)/2 = 10/2 = 5
5 Vérification : 3×7 + 2×5 = 21 + 10 = 31 ✓ et 2×7 + 4×5 = 14 + 20 = 34 ✓

Un rectangle a un périmètre de 20 cm et une aire de 24 cm². Trouver ses dimensions.

Soit x la longueur et y la largeur.

On a : 2x + 2y = 20 (périmètre) et xy = 24 (aire)

Donc : x + y = 10 et xy = 24

On forme le système : \(\begin{cases} x + y = 10 \\ xy = 24 \end{cases}\)

De la première équation : y = 10 - x

Remplaçons dans la deuxième : x(10 - x) = 24 → 10x - x² = 24 → x² - 10x + 24 = 0

Δ = 100 - 96 = 4, donc x₁ = (10 - 2)/2 = 4 et x₂ = (10 + 2)/2 = 6

Si x = 4, alors y = 6. Si x = 6, alors y = 4.

Donc les dimensions sont 4 cm et 6 cm.

On mélange deux solutions de concentrations différentes. La solution A a une concentration de 20% et la solution B a une concentration de 50%. On veut obtenir 300 ml d'une solution de concentration 35%.

Soit x le volume de solution A et y le volume de solution B.

On a : x + y = 300 (volume total) et 0.20x + 0.50y = 0.35×300 = 105 (quantité de soluté)

Donc le système est : \(\begin{cases} x + y = 300 \\ 0.2x + 0.5y = 105 \end{cases}\)

De la première équation : y = 300 - x

Remplaçons dans la deuxième : 0.2x + 0.5(300 - x) = 105 → 0.2x + 150 - 0.5x = 105 → -0.3x = -45 → x = 150

Donc y = 300 - 150 = 150

On doit mélanger 150 ml de solution A et 150 ml de solution B.

La demande d'un produit est donnée par D(p) = 100 - 2p et l'offre par O(p) = 3p - 50, où p est le prix en euros.

À l'équilibre, la demande égale l'offre : D(p) = O(p)

Donc : 100 - 2p = 3p - 50 → 100 + 50 = 3p + 2p → 150 = 5p → p = 30

Quantité à l'équilibre : q = 100 - 2×30 = 40

Le point d'équilibre est le prix auquel la quantité demandée égale la quantité offerte.

C'est le prix vers lequel tend le marché.

À ce prix, il n'y a ni surplus ni pénurie.

Le système d'équations permet de déterminer ce point d'équilibre.

Soit x le nombre de poules et y le nombre de lapins.

Chaque poule a 1 tête et 2 pattes.

Chaque lapin a 1 tête et 4 pattes.

Condition sur les têtes : x + y = 17

Condition sur les pattes : 2x + 4y = 48

Donc le système est : \(\begin{cases} x + y = 17 \\ 2x + 4y = 48 \end{cases}\)

De la première équation : x = 17 - y

Remplaçons dans la deuxième : 2(17 - y) + 4y = 48 → 34 - 2y + 4y = 48 → 34 + 2y = 48 → 2y = 14 → y = 7

Donc x = 17 - 7 = 10

Vérifions : 10 poules + 7 lapins = 17 têtes ✓

Pattes : 10×2 + 7×4 = 20 + 28 = 48 pattes ✓

Donc l'agriculteur a 10 poules et 7 lapins.

Système : \(\begin{cases} x + y = 17 \\ 2x + 4y = 48 \end{cases}\)

Multiplication de la première équation par 2 : 2x + 2y = 34

Soustraction de la deuxième : (2x + 4y) - (2x + 2y) = 48 - 34 → 2y = 14 → y = 7

Donc x = 17 - 7 = 10

On obtient le même résultat par une autre méthode.

Soit x le nombre d'unités de A produites par jour et y le nombre d'unités de B produites par jour.

Contrainte de main-d'œuvre : 2x + 1y ≤ 40

Contrainte de machine : 1x + 3y ≤ 45

On suppose que les contraintes sont saturées (utilisation maximale des ressources) :

De la première équation : y = 40 - 2x

Remplaçons dans la deuxième : x + 3(40 - 2x) = 45 → x + 120 - 6x = 45 → -5x = -75 → x = 15

Donc y = 40 - 2×15 = 40 - 30 = 10

L'entreprise peut produire 15 unités de A et 10 unités de B par jour.

Si x = y, on ajoute cette condition au système :

Remplaçons x = y dans les deux premières équations :

2y + y = 40 → 3y = 40 → y = 40/3 ≈ 13.33

y + 3y = 45 → 4y = 45 → y = 45/4 = 11.25

Les deux équations donnent des valeurs différentes pour y, donc le système est incompatible.

Il est impossible de produire autant d'unités de A que de B avec les contraintes de ressources.

Pour produire autant d'unités de A que de B, il faudrait que les contraintes soient compatibles.

Le produit A est plus intensif en main-d'œuvre (2h) que le produit B (1h), mais moins intensif en machine (1h vs 3h).

Les contraintes de ressources empêchent la production égale des deux produits.

La solution x = 15, y = 10 optimise l'utilisation des ressources disponibles.

Un système linéaire à 3 équations et 3 inconnues a la forme :

La résolution peut se faire par combinaisons linéaires successives.

• Méthode par substitution : exprimer une inconnue en fonction des autres
• Méthode par combinaison linéaire : multiplier les équations pour éliminer une inconnue
• Méthode graphique : pour systèmes 2×2, tracer les droites et lire l'intersection
• Méthode de Gauss : pour systèmes plus complexes

• Identifier les inconnues
• Traduire les conditions en équations
• Former le système
• Résoudre le système
• Interpréter les solutions
• Vérifier la cohérence

• Économie : équilibre offre-demande
• Géométrie : calcul de dimensions
• Sciences : mélange de solutions
• Commerce : détermination de prix
• Optimisation : allocation de ressources