Un magasin vend des pommes et des oranges. 3 pommes et 2 oranges coûtent 2,80€. 2 pommes et 4 oranges coûtent 3,60€. Trouver le prix de chaque fruit.
Le périmètre d'un rectangle est 24 cm. La longueur dépasse la largeur de 4 cm. Trouver les dimensions du rectangle.
Un laboratoire mélange deux solutions : une à 10% et une à 30%. Combien prendre de chaque pour obtenir 2L de solution à 25% ?
Dans un groupe de 25 personnes, il y a des adultes et des enfants. Les adultes paient 8€ et les enfants 5€. La recette est de 170€. Combien y a-t-il d'adultes et d'enfants ?
Deux villes sont distantes de 300 km. Deux voitures partent en même temps l'une vers l'autre à 80 km/h et 70 km/h. Quand et où se rencontrent-elles ?
Problème économique : Application de systèmes linéaires à des situations de vie courante impliquant des prix, quantités ou coûts.
- Identifier les inconnues du problème
- Traduire les contraintes en équations
- Résoudre le système d'équations
- Interpréter la solution dans le contexte du problème
Soit \(x\) le prix d'une pomme en euros
Soit \(y\) le prix d'une orange en euros
"3 pommes et 2 oranges coûtent 2,80€" → \(3x + 2y = 2,8\)
"2 pommes et 4 oranges coûtent 3,60€" → \(2x + 4y = 3,6\)
Système : \(\begin{cases} 3x + 2y = 2,8 \\ 2x + 4y = 3,6 \end{cases}\)
Multiplions la première équation par 2 : \(6x + 4y = 5,6\)
Soustrayons la deuxième équation : \((6x + 4y) - (2x + 4y) = 5,6 - 3,6\)
\(4x = 2\), donc \(x = 0,5\)
Remplaçons dans la première équation : \(3(0,5) + 2y = 2,8\)
\(1,5 + 2y = 2,8\)
\(2y = 1,3\), donc \(y = 0,65\)
Dans la première équation : \(3(0,5) + 2(0,65) = 1,5 + 1,3 = 2,8\) ✓
Dans la deuxième équation : \(2(0,5) + 4(0,65) = 1 + 2,6 = 3,6\) ✓
Une pomme coûte 0,50€ et une orange coûte 0,65€
Le prix d'une pomme est de 0,50€ et le prix d'une orange est de 0,65€.
• Identification : Bien nommer les inconnues
• Traduction : Convertir les phrases en équations mathématiques
• Vérification : Toujours valider la solution dans le contexte
Problème géométrique : Application de systèmes linéaires à des figures géométriques et leurs propriétés.
Soit \(L\) la longueur du rectangle en cm
Soit \(l\) la largeur du rectangle en cm
"Le périmètre est 24 cm" → \(2(L + l) = 24\), donc \(L + l = 12\)
"La longueur dépasse la largeur de 4 cm" → \(L = l + 4\)
Système : \(\begin{cases} L + l = 12 \\ L = l + 4 \end{cases}\)
Substituons la deuxième équation dans la première :
\((l + 4) + l = 12\)
\(2l + 4 = 12\)
\(2l = 8\), donc \(l = 4\)
Alors \(L = l + 4 = 4 + 4 = 8\)
Périmètre : \(2(8 + 4) = 2 \times 12 = 24\) cm ✓
Écart : \(8 - 4 = 4\) cm ✓
Le rectangle a une longueur de 8 cm et une largeur de 4 cm
Les dimensions du rectangle sont 8 cm de longueur et 4 cm de largeur.
• Formules : Utiliser les formules géométriques connues
• Traduction : Convertir les relations géométriques en équations
• Vérification : Confirmer que la solution satisfait les propriétés géométriques
Problème de mélange : Application de systèmes linéaires à des mélanges de substances chimiques ou de solutions.
Soit \(x\) le volume en litres de la solution à 10%
Soit \(y\) le volume en litres de la solution à 30%
"On veut obtenir 2L de solution" → \(x + y = 2\)
"La concentration finale est de 25%" → \(0,10x + 0,30y = 0,25 \times 2 = 0,5\)
Système : \(\begin{cases} x + y = 2 \\ 0,10x + 0,30y = 0,5 \end{cases}\)
De la première équation : \(y = 2 - x\)
Substituons dans la deuxième : \(0,10x + 0,30(2 - x) = 0,5\)
\(0,10x + 0,60 - 0,30x = 0,5\)
\(-0,20x = 0,5 - 0,60 = -0,10\)
\(x = \frac{-0,10}{-0,20} = 0,5\)
Donc \(y = 2 - 0,5 = 1,5\)
Volume total : \(0,5 + 1,5 = 2\) L ✓
Quantité de soluté : \(0,10 \times 0,5 + 0,30 \times 1,5 = 0,05 + 0,45 = 0,5\) L
Concentration : \(\frac{0,5}{2} = 0,25 = 25\%\) ✓
Il faut 0,5 L de solution à 10% et 1,5 L de solution à 30%
Il faut mélanger 0,5 litre de solution à 10% avec 1,5 litre de solution à 30%.
• Conservation : La quantité totale se conserve
• Proportionnalité : La quantité de soluté est proportionnelle à la concentration
• Vérification : Vérifier la concentration finale du mélange
Problème de comptage : Application de systèmes linéaires à des situations de dénombrement ou de classification.
Soit \(a\) le nombre d'adultes
Soit \(e\) le nombre d'enfants
"Dans un groupe de 25 personnes" → \(a + e = 25\)
"La recette est de 170€" → \(8a + 5e = 170\)
Système : \(\begin{cases} a + e = 25 \\ 8a + 5e = 170 \end{cases}\)
De la première équation : \(e = 25 - a\)
Substituons dans la deuxième : \(8a + 5(25 - a) = 170\)
\(8a + 125 - 5a = 170\)
\(3a = 170 - 125 = 45\)
\(a = 15\)
Donc \(e = 25 - 15 = 10\)
Total des personnes : \(15 + 10 = 25\) ✓
Total des recettes : \(8 \times 15 + 5 \times 10 = 120 + 50 = 170\) € ✓
Il y a 15 adultes et 10 enfants dans le groupe
Dans le groupe, il y a 15 adultes et 10 enfants.
• Comptage : Le nombre total est la somme des catégories
• Valeurs pondérées : Multiplier les quantités par les valeurs unitaires
• Vérification : Confirmer que les contraintes sont respectées
Problème de cinématique : Application de systèmes linéaires à des mouvements et des trajectoires.
Soit \(t\) le temps en heures après le départ
Soit \(d\) la distance en km parcourue par la première voiture depuis sa ville de départ
Première voiture : \(d = 80t\) (part de la ville A)
Deuxième voiture : Distance depuis la ville B = \(70t\), donc distance depuis la ville A = \(300 - 70t\)
Les voitures se rencontrent quand elles sont à la même distance de la ville A :
\(80t = 300 - 70t\)
\(80t = 300 - 70t\)
\(80t + 70t = 300\)
\(150t = 300\)
\(t = 2\) heures
Distance parcourue par la première voiture : \(d = 80 \times 2 = 160\) km
Distance parcourue par la deuxième voiture : \(70 \times 2 = 140\) km
Vérification : \(160 + 140 = 300\) km ✓
Les voitures se rencontrent après 2 heures, à 160 km de la ville de départ de la première voiture
Les deux voitures se rencontrent après 2 heures de trajet, à 160 km de la ville de départ de la première voiture.
• Mouvement uniforme : Distance = Vitesse × Temps
• Rencontre : Les objets sont au même endroit au même moment
• Vérification : La somme des distances parcourues doit égaler la distance totale
- Économie : Prix, coûts, profits, budget
- Géométrie : Dimensions, périmètres, aires
- Chimie : Concentrations, volumes, mélanges
- Physique : Vitesses, distances, temps
- Comptabilité : Recettes, effectifs, proportions
- Les inconnues doivent représenter des grandeurs mesurables dans le problème
- Chaque contrainte du problème donne lieu à une équation
- La solution doit être compatible avec les contraintes physiques ou logiques
- Il est essentiel de vérifier que la solution répond à la question posée
