Déterminant d'une matrice 2×2 : Pour une matrice \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), \(\det(A) = ad - bc\).
- Identifier les éléments de la matrice : \(a\), \(b\), \(c\), \(d\)
- Appliquer la formule : \(\det(A) = ad - bc\)
- Effectuer les multiplications et la soustraction
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\)
Donc : \(a = 2\), \(b = 3\), \(c = 1\), \(d = 4\)
\(\det(A) = ad - bc\)
\(\det(A) = (2)(4) - (3)(1)\)
\(\det(A) = 8 - 3 = 5\)
Comme \(\det(A) = 5 \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible
\(\det(A) = 5\)
• Formule : \(\det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc\)
• Ordre : Multiplier les éléments diagonaux principaux puis soustraire le produit des autres
• Interprétation : Un déterminant non nul signifie que la matrice est inversible
Inverse d'une matrice 2×2 : Pour une matrice \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\), si \(\det(A) \neq 0\), alors \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\).
\(B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\)
\(\det(B) = (1)(4) - (2)(3) = 4 - 6 = -2\)
Comme \(\det(B) = -2 \neq 0\), la matrice \(B\) est inversible
\(B^{-1} = \frac{1}{\det(B)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
\(B^{-1} = \frac{1}{-2}\begin{pmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{pmatrix}\)
\(B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
\(BB^{-1} = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} = I\)
\(B^{-1} = \begin{pmatrix} -2 & 1 \\ \frac{3}{2} & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}\)
• Inversibilité : Une matrice n'est inversible que si son déterminant est non nul
• Formule : \(A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)
• Vérification : \(AA^{-1} = I\) où \(I\) est la matrice identité
Résolution d'un système matriciel : Pour \(A\vec{x} = \vec{b}\), si \(A\) est inversible, alors \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\).
\(\begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\)
Soit \(A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}\), \(\vec{x} = \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), \(\vec{b} = \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\)
\(\det(A) = (2)(4) - (1)(3) = 8 - 3 = 5\)
Comme \(\det(A) \neq 0\), la matrice \(A\) est inversible
\(A^{-1} = \frac{1}{5}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -3 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix}\)
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{1}{5} \\ -\frac{3}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 \\ 11 \end{pmatrix}\)
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} \cdot 5 + (-\frac{1}{5}) \cdot 11 \\ (-\frac{3}{5}) \cdot 5 + \frac{2}{5} \cdot 11 \end{pmatrix}\)
\(\vec{x} = \begin{pmatrix} 4 - \frac{11}{5} \\ -3 + \frac{22}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{20-11}{5} \\ \frac{-15+22}{5} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{9}{5} \\ \frac{7}{5} \end{pmatrix}\)
Dans la première équation : \(2 \cdot \frac{9}{5} + 1 \cdot \frac{7}{5} = \frac{18}{5} + \frac{7}{5} = \frac{25}{5} = 5\) ✓
Dans la deuxième équation : \(3 \cdot \frac{9}{5} + 4 \cdot \frac{7}{5} = \frac{27}{5} + \frac{28}{5} = \frac{55}{5} = 11\) ✓
\(x = \frac{9}{5}\) et \(y = \frac{7}{5}\)
• Système matriciel : Écrire le système sous la forme \(A\vec{x} = \vec{b}\)
• Inversibilité : Vérifier que \(\det(A) \neq 0\)
• Résolution : \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\)
Matrice non inversible : Une matrice est non inversible (ou singulière) si son déterminant est nul.
\(C = \begin{pmatrix} 3 & -2 \\ 6 & -4 \end{pmatrix}\)
Donc : \(a = 3\), \(b = -2\), \(c = 6\), \(d = -4\)
\(\det(C) = ad - bc\)
\(\det(C) = (3)(-4) - (-2)(6)\)
\(\det(C) = -12 - (-12) = -12 + 12 = 0\)
Comme \(\det(C) = 0\), la matrice \(C\) n'est pas inversible
La deuxième ligne est le double de la première ligne : \([6, -4] = 2 \cdot [3, -2]\)
Cela explique pourquoi le déterminant est nul
Si \(C\) était la matrice d'un système linéaire, ce système serait soit incompatible, soit indéterminé
\(\det(C) = 0\). La matrice \(C\) n'est pas inversible car ses lignes sont proportionnelles.
• Non inversibilité : Une matrice est non inversible si et seulement si son déterminant est nul
• Proportionnalité : Si les lignes (ou colonnes) sont proportionnelles, le déterminant est nul
• Systèmes : Une matrice non inversible correspond à un système sans solution unique
Système indéterminé : Un système linéaire qui a une infinité de solutions, généralement lorsque les équations sont proportionnelles.
\(\begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ 4x + 6y = 14 \end{cases}\)
\(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 14 \end{pmatrix}\)
\(A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 6 \end{pmatrix}\)
\(\det(A) = (2)(6) - (3)(4) = 12 - 12 = 0\)
La deuxième équation est le double de la première : \(4x + 6y = 2(2x + 3y) = 2 \cdot 7 = 14\)
Les deux équations sont équivalentes
Le système se réduit à une seule équation : \(2x + 3y = 7\)
En exprimant \(x\) en fonction de \(y\) : \(x = \frac{7 - 3y}{2}\)
Les solutions sont de la forme \(\left(\frac{7 - 3t}{2}, t\right)\) où \(t \in \mathbb{R}\)
Le système a une infinité de solutions : il est indéterminé
Le système est indéterminé. Les solutions sont de la forme \(\left(\frac{7 - 3t}{2}, t\right)\) où \(t\) est un réel quelconque.
• Proportionnalité : Si une équation est multiple de l'autre, le système est indéterminé
• Déterminant nul : Signale un système non inversible
• Paramétrisation : Exprimer les solutions en fonction d'un paramètre
- Calcul de déterminant : Pour tester l'inversibilité d'une matrice
- Calcul d'inverse : Pour résoudre \(A\vec{x} = \vec{b}\) par \(\vec{x} = A^{-1}\vec{b}\)
- Classification des systèmes : Selon la valeur du déterminant
- Résolution de systèmes : Par la méthode matricielle
- Une matrice 2×2 est inversible si et seulement si son déterminant est non nul
- Le déterminant d'une matrice 2×2 est le produit des diagonales principales moins le produit des autres
- Si une matrice n'est pas inversible, le système associé est soit incompatible, soit indéterminé
- La multiplication matricielle n'est pas commutative en général
