Méthodes matricielles introductives

• Notation compacte des systèmes
• Algorithmes de résolution systématiques
• Automatisation des calculs
• Applications dans de nombreux domaines
• Base pour des méthodes plus avancées

• Matrice carrée : nombre de lignes = nombre de colonnes
• Matrice ligne : une seule ligne
• Matrice colonne : une seule colonne
• Matrice nulle : tous les coefficients sont nuls
• Matrice identité : 1 sur la diagonale, 0 ailleurs

Un système linéaire de n équations à p inconnues s'écrit :

Ce système se réécrit sous forme matricielle : AX = B

Où A est la matrice des coefficients, X est le vecteur des inconnues, et B est le vecteur des seconds membres.

Le produit de deux matrices A(m×n) et B(n×p) est une matrice C(m×p).

Le coefficient cᵢⱼ de la matrice C est obtenu en multipliant la i-ème ligne de A par la j-ème colonne de B.

Le nombre de colonnes de A doit être égal au nombre de lignes de B.

\(c_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik} \times b_{kj}\)

• Associativité : (AB)C = A(BC)
• Distributivité : A(B + C) = AB + AC
• Non-commutativité : AB ≠ BA en général
• Existence d'une matrice identité : AI = IA = A

Soit A une matrice carrée. On dit que A est inversible s'il existe une matrice A⁻¹ telle que :

Où I est la matrice identité.

La matrice A⁻¹ est appelée matrice inverse de A.

Pour une matrice 2×2 : \(A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\)

Le déterminant est : det(A) = ad - bc

Si det(A) ≠ 0, alors A est inversible et :

Si AX = B et A est inversible, alors X = A⁻¹B.

Cela permet de résoudre le système linéaire de manière directe.

Exemple : \(\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix}\)

det(A) = 2×(-1) - 3×1 = -2 - 3 = -5 ≠ 0

Donc A est inversible et A⁻¹ = (1/-5) \(\begin{pmatrix} -1 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/5 & 3/5 \\ 1/5 & -2/5 \end{pmatrix}\)

X = A⁻¹B = \(\begin{pmatrix} 1/5 & 3/5 \\ 1/5 & -2/5 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix}\)

• 1 Informatique (graphismes, IA)
• 2 Économie (modèles linéaires)
• 3 Physique (transformations)
• 4 Ingénierie (modélisation)
• 5 Statistiques (régression)

Considérons un réseau routier avec 3 villes A, B, C. On peut modéliser les liaisons entre les villes avec une matrice d'adjacence. Si M est la matrice de transition, M² permet de déterminer le nombre de chemins de longueur 2 entre les villes. Les matrices permettent de modéliser et résoudre des problèmes complexes de manière systématique.

Le système \(\begin{cases} 3x + 2y = 11 \\ x + 4y = 13 \end{cases}\) s'écrit sous forme matricielle :

Où A = \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\), X = \(\begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix}\), et B = \(\begin{pmatrix} 11 \\ 13 \end{pmatrix}\)

det(A) = 3×4 - 2×1 = 12 - 2 = 10

Comme det(A) = 10 ≠ 0, la matrice A est inversible.

Pour A = \(\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{pmatrix}\) avec det(A) = 10 :

\(X = A^{-1}B = \begin{pmatrix} 2/5 & -1/5 \\ -1/10 & 3/10 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 11 \\ 13 \end{pmatrix}\)

\(X = \begin{pmatrix} (2/5)×11 + (-1/5)×13 \\ (-1/10)×11 + (3/10)×13 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 22/5 - 13/5 \\ -11/10 + 39/10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 9/5 \\ 28/10 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1.8 \\ 2.8 \end{pmatrix}\)

Vérification : 3×1.8 + 2×2.8 = 5.4 + 5.6 = 11 ✓ et 1.8 + 4×2.8 = 1.8 + 11.2 = 13 ✓

Soit x, y, z les prix unitaires des produits A, B, C.

Où A = \(\begin{pmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 1 & 2 & 4 \\ 3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\), X = \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\), et B = \(\begin{pmatrix} 27 \\ 32 \\ 26 \end{pmatrix}\)

On peut résoudre ce système par la méthode de Gauss ou en utilisant la matrice inverse. Pour ce système, utilisons la méthode de combinaison linéaire :

De la première équation : z = 27 - 2x - 3y

Remplaçons dans les deux autres :

Équation 2 : x + 2y + 4(27 - 2x - 3y) = 32 → x + 2y + 108 - 8x - 12y = 32 → -7x - 10y = -76 → 7x + 10y = 76

Équation 3 : 3x + y + 2(27 - 2x - 3y) = 26 → 3x + y + 54 - 4x - 6y = 26 → -x - 5y = -28 → x + 5y = 28

Nouveau système : \(\begin{cases} 7x + 10y = 76 \\ x + 5y = 28 \end{cases}\)

De la deuxième : x = 28 - 5y

Remplaçons dans la première : 7(28 - 5y) + 10y = 76 → 196 - 35y + 10y = 76 → -25y = -120 → y = 4.8

Donc x = 28 - 5×4.8 = 28 - 24 = 4

Et z = 27 - 2×4 - 3×4.8 = 27 - 8 - 14.4 = 4.6

Vérifions avec x = 4, y = 4.8, z = 4.6 :

• Jour 1 : 2×4 + 3×4.8 + 1×4.6 = 8 + 14.4 + 4.6 = 27 ✓
• Jour 2 : 1×4 + 2×4.8 + 4×4.6 = 4 + 9.6 + 18.4 = 32 ✓
• Jour 3 : 3×4 + 1×4.8 + 2×4.6 = 12 + 4.8 + 9.2 = 26 ✓

Les solutions sont correctes.

Prix pour 1A + 1B + 1C = x + y + z = 4 + 4.8 + 4.6 = 13.4

Le coût pour acheter une unité de chaque produit est de 13.4€.

• Associativité de la multiplication : (AB)C = A(BC)
• Distributivité : A(B + C) = AB + AC
• La multiplication n'est pas commutative : AB ≠ BA en général
• Existence d'une matrice identité : AI = IA = A
• Si A est inversible, alors (A⁻¹)⁻¹ = A

• Un système AX = B a une solution unique si A est inversible
• Si A n'est pas inversible, le système peut avoir aucune ou une infinité de solutions
• La méthode matricielle est particulièrement efficace pour les systèmes de grande taille

• Factorisation par facteur commun
• Utilisation des identités remarquables
• Regroupement de termes
• Utilisation de la somme des racines pour les polynômes
• Recherche de facteurs par essai-erreur

• Résolution de systèmes linéaires
• Modélisation de situations complexes
• Calculs en informatique et IA
• Analyses statistiques
• Études économiques

• Système AX = B → X = A⁻¹B si A inversible
• Déterminant d'une matrice 2×2 : det(A) = ad - bc
• Inverse d'une matrice 2×2 : A⁻¹ = (1/det(A)) \(\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}\)