Matrices 2×2
\( A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \)
Matrice carrée d'ordre 2
Exemple :
\( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)
Concepts fondamentaux
Déterminant
Inverse d'une matrice
Systèmes linéaires
Résolution matricielle
Opérations de base
Addition
A + B
Multiplication
A × B
Déterminant
det(A)
Transposée
A^T
Formules clés
\( \det(A) = ad - bc \)
\( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)
\( AX = B \Rightarrow X = A^{-1}B \)
Méthodes de calcul
Déterminant : \( \det(A) = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21} \)
Inverse : \( A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix} \)
Système : \( \begin{cases} ax + by = e \\ cx + dy = f \end{cases} \Leftrightarrow \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} e \\ f \end{pmatrix} \)
Condition d'inversibilité : \( \det(A) \neq 0 \)
Conseils & Astuces
Vérifier que det(A) ≠ 0 avant d'inverser
Mémoriser la formule de l'inverse 2×2
Multiplier matrices avec soin
Vérifier la solution finale
Utiliser la matrice pour résoudre systèmes
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Signe oublié dans le calcul de l'inverse
Erreur 2 :
Division par zéro (déterminant nul)
Erreur 3 :
Mauvais placement des éléments dans l'inverse
Exemples complets
Exemple 1 : Calcul d'inverse
\( A = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \)
\( \det(A) = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \)
\( \det(A) = 2 \times 4 - 3 \times 1 = 8 - 3 = 5 \)
\( A^{-1} = \frac{1}{5} \begin{pmatrix} 4 & -3 \\ -1 & 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \)
Exemple 2 : Résolution de système
\( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x + 4y = 6 \end{cases} \)
\( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Solution : x=2, y=1
\( \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} \)
\( \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = A^{-1} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{4}{5} & -\frac{3}{5} \\ -\frac{1}{5} & \frac{2}{5} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 7 \\ 6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \end{pmatrix} \)
Solution : x=2, y=1
Exemple 3 : Multiplication de matrices
\( \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 \times 5 + 2 \times 7 & 1 \times 6 + 2 \times 8 \\ 3 \times 5 + 4 \times 7 & 3 \times 6 + 4 \times 8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 19 & 22 \\ 43 & 50 \end{pmatrix} \)
