Problèmes concrets
\( \begin{cases} px + qy = r \\ sx + ty = u \end{cases} \)
Système modélisant un problème réel
Exemple :
Un magasin vend des articles A et B. 3A + 2B = 20€ et 2A + 4B = 24€
Types d'applications
Économie/Finance
Géométrie
Commerces
Sciences
Domaines d'application
Économie
Prix, coûts, profits
Géométrie
Coordonnées, intersections
Mécanique
Forces, équilibre
Mélanges
Concentrations
Étapes de modélisation
1. Identifier les inconnues
2. Traduire les contraintes en équations
3. Résoudre le système
Méthodes de résolution
Économie : \( \begin{cases} p_1x + p_2y = R \\ q_1x + q_2y = Q \end{cases} \)
Géométrie : \( \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \)
Mélanges : \( \begin{cases} x + y = V \\ cx + dy = S \end{cases} \)
Vérification : Remplacer dans équations initiales
Conseils & Astuces
Identifier clairement les inconnues
Traduire chaque contrainte en équation
Vérifier la cohérence des unités
Interpréter la solution dans le contexte
Utiliser la méthode la plus adaptée
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Mal identifier les inconnues
Erreur 2 :
Unités incompatibles dans les équations
Erreur 3 :
Ne pas interpréter la solution
Exemples d'applications
Exemple 1 : Économie
Un vendeur vend des pommes et des oranges. 3kg de pommes + 2kg d'oranges = 10€. 2kg de pommes + 4kg d'oranges = 12€.
Soit x=prix/kg pommes, y=prix/kg oranges
\( \begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 2x + 4y = 12 \end{cases} \)
Solution : x=2€/kg, y=2€/kg
Soit x=prix/kg pommes, y=prix/kg oranges
\( \begin{cases} 3x + 2y = 10 \\ 2x + 4y = 12 \end{cases} \)
Solution : x=2€/kg, y=2€/kg
Exemple 2 : Géométrie
Un rectangle a un périmètre de 24cm et une aire de 32cm².
Soit x=longueur, y=largeur
\( \begin{cases} 2(x + y) = 24 \\ xy = 32 \end{cases} \)
Solution : x=8cm, y=4cm (ou inverse)
Soit x=longueur, y=largeur
\( \begin{cases} 2(x + y) = 24 \\ xy = 32 \end{cases} \)
Solution : x=8cm, y=4cm (ou inverse)
Exemple 3 : Mélange chimique
On mélange deux solutions : une à 10% et une à 30%. On veut 2L à 20%.
Soit x=L de 10%, y=L de 30%
\( \begin{cases} x + y = 2 \\ 0.1x + 0.3y = 0.2 \times 2 \end{cases} \)
Solution : x=1L de 10%, y=1L de 30%
Soit x=L de 10%, y=L de 30%
\( \begin{cases} x + y = 2 \\ 0.1x + 0.3y = 0.2 \times 2 \end{cases} \)
Solution : x=1L de 10%, y=1L de 30%
