Système 2×2
\( \begin{cases} ax + by = c \\ dx + ey = f \end{cases} \)
Système de deux équations à deux inconnues
Exemple :
\( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \)
Méthodes de résolution
Substitution
Combinaison linéaire
Méthode graphique
Méthode de Cramer
Types de solutions
Unique
Une seule solution
Infinité
Droites confondues
Aucune
Droites parallèles
Compatible
Solutions existent
Critères
\( \frac{a}{d} \neq \frac{b}{e} \) → Solution unique
\( \frac{a}{d} = \frac{b}{e} = \frac{c}{f} \) → Infinité de solutions
\( \frac{a}{d} = \frac{b}{e} \neq \frac{c}{f} \) → Pas de solution
Méthodes détaillées
Substitution : Exprimer une variable puis remplacer
Combinaison : Multiplier équations et additionner
Déterminant : \( \Delta = ae - bd \)
Cramer : \( x = \frac{\Delta_x}{\Delta}, y = \frac{\Delta_y}{\Delta} \)
Conseils & Astuces
Choisir la méthode la plus adaptée
Vérifier la solution dans les deux équations
Éliminer progressivement les inconnues
Représenter graphiquement pour vérifier
Multiplier par des nombres pour éliminer
Erreurs Fréquentes
Erreur 1 :
Signe incorrect lors de la substitution
Erreur 2 :
Mal multiplier les équations
Erreur 3 :
Division par zéro non détectée
Exemples complets
Exemple 1 : Méthode de substitution
\( \begin{cases} 2x + 3y = 7 \\ x - y = 1 \end{cases} \)
De la 2ème équation : \( x = y + 1 \)
Remplacer dans la 1ère : \( 2(y+1) + 3y = 7 \)
\( 2y + 2 + 3y = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1 \)
Donc \( x = 1 + 1 = 2 \)
Solution : \( (x, y) = (2, 1) \)
De la 2ème équation : \( x = y + 1 \)
Remplacer dans la 1ère : \( 2(y+1) + 3y = 7 \)
\( 2y + 2 + 3y = 7 \Rightarrow 5y = 5 \Rightarrow y = 1 \)
Donc \( x = 1 + 1 = 2 \)
Solution : \( (x, y) = (2, 1) \)
Exemple 2 : Méthode de combinaison
\( \begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ 2x - y = 1 \end{cases} \)
Multiplier la 2ème équation par 2 : \( 4x - 2y = 2 \)
Additionner : \( (3x + 2y) + (4x - 2y) = 8 + 2 \)
\( 7x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{7} \)
Remplacer : \( 2 \cdot \frac{10}{7} - y = 1 \Rightarrow y = \frac{20}{7} - 1 = \frac{13}{7} \)
Multiplier la 2ème équation par 2 : \( 4x - 2y = 2 \)
Additionner : \( (3x + 2y) + (4x - 2y) = 8 + 2 \)
\( 7x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{7} \)
Remplacer : \( 2 \cdot \frac{10}{7} - y = 1 \Rightarrow y = \frac{20}{7} - 1 = \frac{13}{7} \)
Exemple 3 : Système 3×3
\( \begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases} \)
Élimination progressive des variables pour obtenir un système 2×2
Élimination progressive des variables pour obtenir un système 2×2
