\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 3x + 2y = 8 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
\(\begin{cases} y = 2x + 1 \\ y = -x + 4 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x + 4y = 6 \\ x + 2y = 3 \end{cases}\)
\(\begin{cases} 2x - y = 4 \\ 4x - 2y = 10 \end{cases}\)
Méthode par substitution : Isoler une variable dans une équation et la substituer dans l'autre équation.
- Isoler une variable dans une des équations
- Substituer cette expression dans l'autre équation
- Résoudre l'équation à une inconnue obtenue
- Remplacer dans l'expression isolée pour trouver la deuxième inconnue
\(x + y = 5 \Rightarrow y = 5 - x\)
\(2x - y = 1 \Rightarrow 2x - (5 - x) = 1\)
\(2x - (5 - x) = 1\)
\(2x - 5 + x = 1\)
\(3x = 6\)
\(x = 2\)
\(y = 5 - x = 5 - 2 = 3\)
Dans la première équation : \(2 + 3 = 5\) ✓
Dans la deuxième équation : \(2(2) - 3 = 4 - 3 = 1\) ✓
\(x = 2\) et \(y = 3\)
• Substitution : Remplacer une variable par son expression dans l'autre équation
• Simplification : Réduire les expressions algébriques
• Vérification : Toujours vérifier la solution dans les équations initiales
Méthode par combinaison : Combiner linéairement les équations pour éliminer une variable.
Pour éliminer \(y\), on multiplie la deuxième équation par 2
\(E_1 : 3x + 2y = 8\)
\(E_2 : x - y = 1 \Rightarrow 2E_2 : 2x - 2y = 2\)
\(E_1 + 2E_2 : (3x + 2y) + (2x - 2y) = 8 + 2\)
\(5x = 10\)
\(x = \frac{10}{5} = 2\)
Utilisons la deuxième équation : \(x - y = 1\)
\(2 - y = 1\)
\(y = 2 - 1 = 1\)
Dans la première équation : \(3(2) + 2(1) = 6 + 2 = 8\) ✓
Dans la deuxième équation : \(2 - 1 = 1\) ✓
\(x = 2\) et \(y = 1\)
• Combinaison : Multiplier les équations pour éliminer une variable
• Addition : Additionner les équations modifiées
• Vérification : Toujours vérifier la solution dans les équations initiales
Méthode graphique : Représenter les droites correspondant aux équations et trouver leur intersection.
Coefficient directeur : 2, ordonnée à l'origine : 1
Points : (0, 1) et (1, 3)
Coefficient directeur : -1, ordonnée à l'origine : 4
Points : (0, 4) et (4, 0)
Graphiquement, les droites se coupent au point (1, 3)
\(2x + 1 = -x + 4\)
\(3x = 3\)
\(x = 1\)
\(y = 2(1) + 1 = 3\)
Dans la première équation : \(y = 2(1) + 1 = 3\) ✓
Dans la deuxième équation : \(y = -(1) + 4 = 3\) ✓
\(x = 1\) et \(y = 3\)
• Tracé : Représenter les droites correspondant aux équations
• Intersection : Le point d'intersection est la solution du système
• Vérification : Confirmer graphiquement par le calcul
Système indéterminé : Les deux équations représentent la même droite, il y a une infinité de solutions.
La première équation est : \(2x + 4y = 6\)
La deuxième équation est : \(x + 2y = 3\)
\(2(x + 2y) = 2 \times 3\)
\(2x + 4y = 6\)
On obtient : \(2x + 4y = 6\) et \(2x + 4y = 6\)
Les deux équations sont identiques !
Le système a une infinité de solutions
Elles sont données par \(x + 2y = 3\), soit \(x = 3 - 2y\) pour tout \(y \in \mathbb{R}\)
\(S = \{(3-2t, t) \mid t \in \mathbb{R}\}\)
Le système a une infinité de solutions de la forme \((3-2t, t)\) où \(t\) est un réel quelconque.
• Identification : Si une équation est multiple de l'autre, le système est indéterminé
• Paramètre : Exprimer les solutions en fonction d'un paramètre
• Interprétation : Les deux droites sont confondues
Système incompatible : Les deux équations représentent des droites parallèles distinctes, il n'y a aucune solution.
Première équation : \(2x - y = 4\)
Deuxième équation : \(4x - 2y = 10\)
\(2(2x - y) = 2 \times 4\)
\(4x - 2y = 8\)
On a : \(4x - 2y = 8\) et \(4x - 2y = 10\)
Cela impliquerait \(8 = 10\), ce qui est impossible !
\(2E_1 - E_2 : 2(2x - y) - (4x - 2y) = 2 \times 4 - 10\)
\(4x - 2y - 4x + 2y = 8 - 10\)
\(0 = -2\)
On obtient une égalité fausse (0 = -2), donc le système est incompatible
Il n'existe aucune solution
Le système n'a aucune solution : \(S = \emptyset\)
• Incompatibilité : Si on obtient une égalité fausse, le système est incompatible
• Parallélisme : Les coefficients sont proportionnels mais les constantes ne le sont pas
• Interprétation : Les deux droites sont parallèles distinctes
- Méthode par substitution : Isoler une variable et la remplacer dans l'autre équation
- Méthode par combinaison : Multiplier les équations pour éliminer une variable
- Méthode graphique : Tracer les droites et trouver leur intersection
- Méthode du pivot de Gauss : Généralisable à plus de deux inconnues
- Un système linéaire de deux équations à deux inconnues a 0, 1 ou une infinité de solutions
- La méthode par substitution est efficace quand un coefficient vaut 1 ou -1
- La méthode par combinaison est utile pour éliminer une variable
- Les coefficients proportionnels indiquent un cas particulier (indéterminé ou incompatible)
