Interprétations géométriques
Introduction
Découvrez comment les systèmes d'équations se traduisent graphiquement
Contexte et motivation
Pourquoi les interprétations géométriques ?
Comment visualiser la solution d'un système d'équations comme :
\(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\) ?
Comment comprendre graphiquement qu'un système a une solution unique, aucune solution, ou une infinité de solutions ?
Les interprétations géométriques permettent de visualiser les systèmes d'équations et de comprendre leurs propriétés.
- Comprendre la nature des solutions d'un système
- Visualiser les relations entre les équations
- Identifier les cas particuliers
- Faciliter la résolution de certains systèmes
- Établir des liens entre algèbre et géométrie
Interprétation géométrique d'une équation linéaire
Une équation = une droite
Une équation linéaire à deux inconnues x et y s'écrit sous la forme : ax + by = c
Où a, b, c sont des réels avec a et b non tous deux nuls.
Dans un repère orthonormé, cette équation représente une droite.
Les solutions de l'équation sont les coordonnées des points de la droite.
- Forme réduite : y = mx + p (si b ≠ 0)
- Forme cartésienne : ax + by + c = 0
- Forme paramétrique : x = x₀ + at, y = y₀ + bt
- Forme implicite : f(x, y) = 0
Système de deux équations à deux inconnues
Deux droites = intersection
Soit le système : \(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)
Chaque équation représente une droite dans le plan.
Les solutions du système sont les coordonnées des points d'intersection des deux droites.
Donc : une solution unique ↔ les droites sont sécantes, aucune solution ↔ les droites sont parallèles, infinité de solutions ↔ les droites sont confondues
- Droites sécantes : une solution unique (système compatible déterminé)
- Droites parallèles distinctes : aucune solution (système incompatible)
- Droites confondues : infinité de solutions (système compatible indéterminé)
Exemple concret
Application numérique
Considérons le système : \(\begin{cases} 2x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)
1. Représentons graphiquement les deux droites.
2. Déterminons l'intersection.
3. Vérifions que le point d'intersection est solution du système.
Droite 1 : 2x + y = 5 → y = -2x + 5
Deux points : (0, 5) et (2, 1)
Droite 2 : x - y = 1 → y = x - 1
Deux points : (0, -1) et (2, 1)
Le point d'intersection est (2, 1).
On peut résoudre algébriquement :
De la deuxième équation : y = x - 1
Remplaçons dans la première : 2x + (x - 1) = 5 → 3x - 1 = 5 → 3x = 6 → x = 2
Donc y = 2 - 1 = 1
Le point d'intersection est bien (2, 1).
Cas de droites parallèles
Systèmes sans solution
Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur.
Pour les droites ax + by = c et a'x + b'y = c', elles sont parallèles si : \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} \neq \frac{c}{c'}\)
Dans ce cas, le système n'a aucune solution.
Système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 10 \end{cases}\)
On remarque que : 4x + 6y = 10 est équivalent à 2x + 3y = 5
Donc on a : \(\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 2x + 3y = 5 \end{cases}\)
Ces deux droites ont la même équation réduite (y = (-2/3)x + 2 et y = (-2/3)x + 5/3), donc elles sont parallèles.
Comme 6 ≠ 5, les droites sont parallèles distinctes, donc aucune solution.
Cas de droites confondues
Systèmes avec infinité de solutions
Deux droites sont confondues si elles ont les mêmes coefficients (proportionnels).
Pour les droites ax + by = c et a'x + b'y = c', elles sont confondues si : \(\frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'}\)
Dans ce cas, le système a une infinité de solutions.
Système : \(\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 4x + 6y = 12 \end{cases}\)
On remarque que : 4x + 6y = 12 est équivalent à 2x + 3y = 6 (multiplié par 2)
Donc on a : \(\begin{cases} 2x + 3y = 6 \\ 2x + 3y = 6 \end{cases}\)
Ces deux droites sont identiques, donc confondues.
Le système a une infinité de solutions : tous les points de la droite sont solutions.
Systèmes 3×3 et interprétations
Trois équations, trois inconnues
Un système de 3 équations à 3 inconnues correspond à l'intersection de 3 plans dans l'espace.
Chaque équation ax + by + cz = d représente un plan dans l'espace.
Les solutions sont les points d'intersection des 3 plans.
Il peut y avoir : une solution unique (les 3 plans se coupent en un point), aucune solution (plans sans intersection commune), ou une infinité de solutions (intersection selon une droite ou un plan).
Système : \(\begin{cases} x + y + z = 6 \\ 2x - y + z = 3 \\ x + 2y - z = 1 \end{cases}\)
Ce système correspond à l'intersection de trois plans dans l'espace.
La solution (s'il y en a une) est un point (x, y, z) qui appartient aux trois plans.
Dans ce cas particulier, la solution est x = 2, y = 3, z = 1.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Économie (équilibre offre-demande)
- 2 Physique (systèmes de forces)
- 3 Informatique (graphismes 3D)
- 4 Ingénierie (résolution de structures)
- 5 Sciences sociales (modélisation)
En économie, l'équilibre du marché est atteint quand l'offre égale la demande. Si l'offre est O(p) = 2p - 10 et la demande est D(p) = -p + 20, alors l'équilibre est atteint quand O(p) = D(p). Cela correspond à résoudre le système : \(\begin{cases} q = 2p - 10 \\ q = -p + 20 \end{cases}\). L'interprétation géométrique est l'intersection des deux droites dans le plan (p, q), ce qui donne le point d'équilibre du marché.
Exercice d'application
Problème complet
Un magasin vend deux types de produits A et B. Le prix de vente unitaire de A est de 10€ et de B est de 15€. Un client achète un total de 8 articles pour un montant de 95€.
1. Écrire le système d'équations correspondant.
2. Résoudre le système algébriquement.
3. Représenter graphiquement les deux droites.
4. Déterminer le point d'intersection et interpréter.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Soit x le nombre de produits A et y le nombre de produits B.
Le client achète 8 articles au total : x + y = 8
Le montant total est de 95€ : 10x + 15y = 95
De la première équation : y = 8 - x
Remplaçons dans la deuxième : 10x + 15(8 - x) = 95
10x + 120 - 15x = 95
-5x = 95 - 120 = -25
x = 5
Donc y = 8 - 5 = 3
Le client a acheté 5 produits A et 3 produits B.
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
Droite 1 : x + y = 8 → y = -x + 8
Points : (0, 8) et (8, 0)
Droite 2 : 10x + 15y = 95 → 15y = 95 - 10x → y = (95 - 10x)/15
Points : (0, 95/15 ≈ 6.33) et (9.5, 0)
Le point d'intersection des deux droites est (5, 3), ce qui correspond à la solution algébrique.
Cela signifie que le client a acheté 5 produits A et 3 produits B.
Vérification : 5 + 3 = 8 articles ✓ et 5×10 + 3×15 = 50 + 45 = 95€ ✓
L'interprétation géométrique confirme la solution algébrique.
Deuxième exercice
Problème complet
Un producteur vend des pommes et des poires. Lundi, il vend 4 kg de pommes et 3 kg de poires pour 20€. Mardi, il vend 2 kg de pommes et 5 kg de poires pour 22€.
1. Écrire le système d'équations.
2. Déterminer le prix par kg de chaque fruit.
3. Représenter graphiquement les droites.
4. Identifier le type de système (unique, aucune, infinie solution).
Solution du deuxième exercice
Correction détaillée
Soit x le prix du kg de pommes et y le prix du kg de poires.
Lundi : 4x + 3y = 20
Mardi : 2x + 5y = 22
Multiplication de la deuxième équation par 2 : 4x + 10y = 44
Soustraction de la première équation : (4x + 10y) - (4x + 3y) = 44 - 20
Donc : 7y = 24 → y = 24/7 ≈ 3.43
Remplaçons dans la première équation : 4x + 3×(24/7) = 20 → 4x + 72/7 = 20 → 4x = 20 - 72/7 = (140 - 72)/7 = 68/7 → x = 17/7 ≈ 2.43
Les deux droites 4x + 3y = 20 et 2x + 5y = 22 ont des coefficients différents : 4/2 ≠ 3/5, donc elles sont sécantes.
Le système a donc une unique solution, ce qui correspond à l'intersection des deux droites.
Le point d'intersection est (17/7, 24/7) ≈ (2.43, 3.43).
Résumé
Points clés
- Une équation linéaire → une droite dans le plan
- Un système 2×2 → intersection de deux droites
- Droites sécantes → une solution unique
- Droites parallèles distinctes → aucune solution
- Droites confondues → infinité de solutions
- Chaque équation → un plan dans l'espace
- Intersection de 3 plans → solution du système
- Peut avoir une solution unique, aucune ou une infinité
- Substitution
- Combinaison linéaire
- Graphique
- Matricielle
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences