Problèmes contextualisés

• Appliquer les mathématiques à des situations concrètes
• Modéliser des phénomènes du monde réel
• Prendre des décisions éclairées
• Comprendre la pertinence des mathématiques
• Renforcer la motivation à apprendre

1. 1 Lire attentivement l'énoncé
2. 2 Identifier les inconnues
3. 3 Traduire les conditions en équations
4. 4 Former le système d'équations
5. 5 Résoudre le système
6. 6 Interpréter la solution dans le contexte
7. 7 Vérifier la cohérence du résultat

1 Soit x l'âge actuel de la première personne et y l'âge actuel de la seconde.
2 Condition 1 : x + y = 50
3 Condition 2 : dans 5 ans, x + 5 = 2(y + 5)
4 Système : \(\begin{cases} x + y = 50 \\ x + 5 = 2(y + 5) \end{cases}\)
5 Simplifions la deuxième équation : x + 5 = 2y + 10 → x = 2y + 5
6 Remplaçons dans la première : (2y + 5) + y = 50 → 3y = 45 → y = 15
7 Donc x = 2×15 + 5 = 35

Une entreprise produit deux types de produits P1 et P2. Le bénéfice unitaire est de 10€ pour P1 et 15€ pour P2. L'entreprise a une contrainte de main-d'œuvre de 100 heures et une contrainte de machine de 80 heures. La production d'une unité de P1 nécessite 2 heures de main-d'œuvre et 1 heure de machine. La production d'une unité de P2 nécessite 1 heure de main-d'œuvre et 2 heures de machine.

Comment déterminer la production optimale pour maximiser le profit ?

Un rectangle a une longueur triple de sa largeur. Son périmètre est de 32 cm. Trouver ses dimensions.

Soit x la largeur et y la longueur du rectangle.

Conditions : y = 3x et 2(x + y) = 32

Système : \(\begin{cases} y = 3x \\ 2(x + y) = 32 \end{cases}\)

Remplaçons la première dans la deuxième : 2(x + 3x) = 32 → 2(4x) = 32 → 8x = 32 → x = 4

Donc y = 3×4 = 12

Périmètre = 2(4 + 12) = 2×16 = 32 cm ✓

Longueur = 3×largeur : 12 = 3×4 ✓

Les conditions sont satisfaites.

• 1 Économie (optimisation, modélisation)
• 2 Ingénierie (dimensionnement, contraintes)
• 3 Sciences sociales (analyse de données)
• 4 Gestion (allocation de ressources)
• 5 Médecine (analyse de données)

Un diététicien prépare un menu composé de deux aliments A et B. L'aliment A fournit 30g de protéines et 20g de glucides par portion. L'aliment B fournit 20g de protéines et 30g de glucides par portion. On veut un total de 120g de protéines et 130g de glucides. Combien de portions de chaque aliment ?

Soit x portions de A et y portions de B :
\(\begin{cases} 30x + 20y = 120 \\ 20x + 30y = 130 \end{cases}\)
Résolution : x = 2, y = 3. Donc 2 portions de A et 3 portions de B.

Soit x le prix unitaire de l'article A et y le prix unitaire de l'article B.

Condition 1 : 3 articles A et 2 articles B coûtent 29€ → 3x + 2y = 29

Condition 2 : 2 articles A et 4 articles B coûtent 34€ → 2x + 4y = 34

Multiplions la première équation par 2 : 6x + 4y = 58

Soustrayons la deuxième : (6x + 4y) - (2x + 4y) = 58 - 34 → 4x = 24 → x = 6

Remplaçons dans la première équation : 3×6 + 2y = 29 → 18 + 2y = 29 → 2y = 11 → y = 5.5

L'article A coûte 6€ et l'article B coûte 5.50€.

Vérification :
Client 1 : 3×6 + 2×5.5 = 18 + 11 = 29€ ✓
Client 2 : 2×6 + 4×5.5 = 12 + 22 = 34€ ✓

Les prix sont cohérents avec les données du problème.

Prix = 5x + 3y = 5×6 + 3×5.5 = 30 + 16.5 = 46.5€

Soit x le nombre de trajets courts et y le nombre de trajets longs.

Conditions :
Nombre total de trajets : x + y = 8
Durée totale : 1x + 3y = 18
Coût total : 15x + 35y = 240

De la première équation : x = 8 - y

Remplaçons dans la deuxième : (8 - y) + 3y = 18 → 8 + 2y = 18 → 2y = 10 → y = 5

Donc x = 8 - 5 = 3

Vérifions avec la troisième équation : 15×3 + 35×5 = 45 + 175 = 220 ≠ 240

Il y a une contradiction. Utilisons les deux premières équations :
\(\begin{cases} x + y = 8 \\ x + 3y = 18 \end{cases}\)
Soustraction : (x + 3y) - (x + y) = 18 - 8 → 2y = 10 → y = 5
Donc x = 8 - 5 = 3

Vérification : 15×3 + 35×5 = 45 + 175 = 220 ≠ 240. Il y a une erreur dans l'énoncé ou dans les calculs. Corrigeons : 15×3 + 35×5 = 45 + 175 = 220. Donc le coût total est 220€, pas 240€.

Nous avons trouvé x = 3 trajets courts et y = 5 trajets longs.

Vérification :
Nombre total : 3 + 5 = 8 ✓
Durée totale : 3×1 + 5×3 = 3 + 15 = 18h ✓
Coût total : 3×15 + 5×35 = 45 + 175 = 220€ ≠ 240€

Il y a une erreur dans l'énoncé : le coût total devrait être 220€, pas 240€.

Nouvelles conditions : 10 trajets pour 20 heures.

Soit x' le nombre de trajets courts et y' le nombre de trajets longs.

\(\begin{cases} x' + y' = 10 \\ x' + 3y' = 20 \end{cases}\)

Soustraction : (x' + 3y') - (x' + y') = 20 - 10 → 2y' = 10 → y' = 5

Donc x' = 10 - 5 = 5

Le client effectuerait 5 trajets courts et 5 trajets longs.

Les systèmes d'équations sont utilisés dans des problèmes d'optimisation. Par exemple, maximiser un profit sous des contraintes linéaires. On résout le système pour trouver les points d'intersection des contraintes, puis on évalue la fonction objectif en ces points pour déterminer le maximum ou le minimum.

Exemple : maximiser Z = 3x + 4y sous les contraintes :
x + 2y ≤ 10
2x + y ≤ 8
x ≥ 0, y ≥ 0

Les systèmes d'équations sont utilisés pour déterminer des paramètres statistiques. Par exemple, dans une série statistique, on peut avoir des contraintes sur la moyenne et la variance, et résoudre un système pour déterminer les valeurs possibles.

Exemple : déterminer les fréquences f₁ et f₂ telles que f₁ + f₂ = 1 et f₁×v₁ + f₂×v₂ = moyenne connue.

• Identifier les inconnues du problème
• Traduire les conditions en équations
• Former le système d'équations
• Résoudre le système par substitution ou combinaison
• Interpréter les solutions dans le contexte
• Vérifier la cohérence des résultats

• Méthode par substitution
• Méthode par combinaison linéaire
• Méthode graphique
• Méthode matricielle

• Problèmes économiques (coût, profit)
• Problèmes géométriques (dimensions)
• Problèmes de gestion (ressources)
• Problèmes de sciences (mesures)