Problème de dénombrement : Situation où il faut compter des objets de deux types différents en fonction de contraintes données.
- Identifier les inconnues du problème
- Traduire les contraintes en équations
- Résoudre le système d'équations
- Interpréter la solution dans le contexte du problème
Soit \(x\) le nombre de pièces de 1€
Soit \(y\) le nombre de pièces de 2€
"50 pièces au total" → \(x + y = 50\)
"Valeur totale de 85€" → \(1x + 2y = 85\)
Système : \(\begin{cases} x + y = 50 \\ x + 2y = 85 \end{cases}\)
Soustrayons la première équation de la deuxième : \((x + 2y) - (x + y) = 85 - 50\)
\(y = 35\)
Remplaçons dans la première équation : \(x + 35 = 50\)
\(x = 15\)
Nombre total de pièces : \(15 + 35 = 50\) ✓
Valeur totale : \(15 \times 1€ + 35 \times 2€ = 15€ + 70€ = 85€\) ✓
Le commerçant a 15 pièces de 1€ et 35 pièces de 2€
Le commerçant a 15 pièces de 1€ et 35 pièces de 2€.
• Identification : Bien nommer les inconnues
• Traduction : Convertir les phrases en équations mathématiques
• Vérification : Toujours valider la solution dans le contexte
Problème de comptage avec prix : Situation impliquant des personnes de catégories différentes avec des tarifs différents.
Soit \(a\) le nombre d'adultes
Soit \(e\) le nombre d'enfants
"120 personnes ont assisté" → \(a + e = 120\)
"Recette de 780€" → \(8a + 5e = 780\)
Système : \(\begin{cases} a + e = 120 \\ 8a + 5e = 780 \end{cases}\)
De la première équation : \(e = 120 - a\)
Substituons dans la deuxième : \(8a + 5(120 - a) = 780\)
\(8a + 600 - 5a = 780\)
\(3a = 180\)
\(a = 60\)
Donc \(e = 120 - 60 = 60\)
Nombre total de personnes : \(60 + 60 = 120\) ✓
Recette totale : \(60 \times 8€ + 60 \times 5€ = 480€ + 300€ = 780€\) ✓
Il y avait 60 adultes et 60 enfants à la séance
Il y avait 60 adultes et 60 enfants à la séance.
• Comptage : Le nombre total est la somme des catégories
• Valeurs pondérées : Multiplier les quantités par les prix unitaires
• Vérification : Confirmer que les contraintes sont respectées
Problème de gestion : Situation impliquant des objets de catégories différentes avec des coûts différents.
Soit \(b\) le nombre de berlines louées
Soit \(u\) le nombre d'utilitaires loués
"15 véhicules ont été loués" → \(b + u = 15\)
"Montant total de 720€" → \(40b + 60u = 720\)
Système : \(\begin{cases} b + u = 15 \\ 40b + 60u = 720 \end{cases}\)
Multiplication de la première équation par 40 : \(40b + 40u = 600\)
Soustrayons de la deuxième équation : \((40b + 60u) - (40b + 40u) = 720 - 600\)
\(20u = 120\)
\(u = 6\)
Donc \(b = 15 - 6 = 9\)
Nombre total de véhicules : \(9 + 6 = 15\) ✓
Coût total : \(9 \times 40€ + 6 \times 60€ = 360€ + 360€ = 720€\) ✓
9 berlines et 6 utilitaires ont été loués
9 berlines et 6 utilitaires ont été loués hier.
• Total : La somme des catégories égale le total
• Coût pondéré : Multiplier les quantités par les prix unitaires
• Vérification : Vérifier que les deux contraintes sont satisfaites
Problème de proportion : Situation impliquant des quantités liées par une relation de proportionnalité.
Soit \(t\) la surface des tomates en m²
Soit \(c\) la surface des carottes en m²
"300 m² de terrain au total" → \(t + c = 300\)
"Surface des tomates est le double de celle des carottes" → \(t = 2c\)
Système : \(\begin{cases} t + c = 300 \\ t = 2c \end{cases}\)
Substituons la deuxième équation dans la première : \(2c + c = 300\)
\(3c = 300\)
\(c = 100\)
Donc \(t = 2 \times 100 = 200\)
Surface totale : \(200 + 100 = 300\) m² ✓
Proportion : \(200 = 2 \times 100\) ✓
Les tomates occupent 200 m² et les carottes occupent 100 m²
Les tomates occupent 200 m² et les carottes occupent 100 m².
• Proportionnalité : Traduire les relations de type "double", "moitié", etc.
• Substitution : Remplacer une expression dans l'autre équation
• Vérification : Confirmer les deux relations dans la solution
Problème de gestion financière : Situation impliquant des types d'abonnements avec des tarifs différents.
Soit \(j\) le nombre d'abonnements jeunes
Soit \(a\) le nombre d'abonnements adultes
"80 abonnements ont été vendus" → \(j + a = 80\)
"Total de 3200€" → \(30j + 50a = 3200\)
Système : \(\begin{cases} j + a = 80 \\ 30j + 50a = 3200 \end{cases}\)
De la première équation : \(j = 80 - a\)
Substituons dans la deuxième : \(30(80 - a) + 50a = 3200\)
\(2400 - 30a + 50a = 3200\)
\(20a = 800\)
\(a = 40\)
Donc \(j = 80 - 40 = 40\)
Nombre total d'abonnements : \(40 + 40 = 80\) ✓
Revenu total : \(40 \times 30€ + 40 \times 50€ = 1200€ + 2000€ = 3200€\) ✓
40 abonnements jeunes et 40 abonnements adultes ont été vendus
40 abonnements jeunes et 40 abonnements adultes ont été vendus ce mois-ci.
• Comptage : Le nombre total est la somme des catégories
• Valeurs pondérées : Multiplier les quantités par les tarifs unitaires
• Vérification : Confirmer que les deux contraintes sont respectées
- Comptage : Nombre d'objets/catégories avec contraintes
- Financiers : Prix, coûts, recettes avec différents tarifs
- Gestion : Quantités, surfaces, volumes avec relations
- Proportions : Relations de type "double", "moitié", "plus que"
- Les inconnues doivent représenter des grandeurs mesurables dans le problème
- Chaque contrainte du problème donne lieu à une équation
- La solution doit être compatible avec les contraintes physiques ou logiques
- Il est essentiel de vérifier que la solution répond à la question posée
