\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}\)
Trouver leur intersection.
\(\begin{cases} 2x + y = 4 \\ 4x + 2y = 10 \end{cases}\)
Interpréter géométriquement.
\(\begin{cases} 3x - y = 2 \\ 6x - 2y = 4 \end{cases}\)
Interpréter géométriquement.
\(y = -x + 5\) et \(y = 2x - 1\)
Intersection de droites : Le point d'intersection de deux droites non parallèles correspond à la solution du système d'équations.
- Tracer chaque droite en trouvant deux points
- Repérer le point d'intersection
- Comparer avec la solution algébrique
Points : (0, 3) et (3, 0)
Points : (0, 0) et (1, 2)
Les droites se coupent au point (1, 2)
Système : \(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - y = 0 \end{cases}\)
De la deuxième équation : \(y = 2x\)
Substituer dans la première : \(x + 2x = 3 \Rightarrow 3x = 3 \Rightarrow x = 1\)
Donc \(y = 2(1) = 2\)
Le point d'intersection est (1, 2), ce qui correspond à la solution du système
Les droites se coupent au point de coordonnées (1, 2).
• Graphique : Une équation linéaire représente une droite
• Intersection : Le point d'intersection est la solution du système
• Vérification : Toujours comparer la solution graphique avec la solution algébrique
Droites parallèles : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur mais des ordonnées à l'origine différentes.
Première droite : \(2x + y = 4 \Rightarrow y = -2x + 4\)
Deuxième droite : \(4x + 2y = 10 \Rightarrow 2y = -4x + 10 \Rightarrow y = -2x + 5\)
Pour la première droite : coefficient directeur = -2
Pour la deuxième droite : coefficient directeur = -2
Première droite : ordonnée à l'origine = 4
Deuxième droite : ordonnée à l'origine = 5
Les droites ont le même coefficient directeur (-2) mais des ordonnées à l'origine différentes
Donc les droites sont parallèles et ne se coupent pas
Le système est incompatible car la deuxième équation est 2 fois la première mais avec un second membre différent
\(2x + y = 4\) multiplié par 2 donne \(4x + 2y = 8\), pas \(4x + 2y = 10\)
Les droites sont parallèles et ne se coupent pas. Le système n'a aucune solution.
• Parallélisme : Deux droites sont parallèles si elles ont le même coefficient directeur
• Incompatibilité : Si les droites sont parallèles et distinctes, le système est incompatible
• Graphique : Les droites ne se coupent pas, donc pas de solution
Droites confondues : Deux droites sont confondues si elles ont les mêmes coefficients directeur et ordonnée à l'origine.
Première droite : \(3x - y = 2 \Rightarrow y = 3x - 2\)
Deuxième droite : \(6x - 2y = 4 \Rightarrow 2y = 6x - 4 \Rightarrow y = 3x - 2\)
Les deux équations sont identiques : \(y = 3x - 2\)
Les deux équations représentent la même droite
Donc les droites sont confondues
La deuxième équation est exactement 2 fois la première : \(6x - 2y = 4 = 2(3x - y) = 2 \times 2 = 4\)
Les équations sont équivalentes
Tous les points de la droite sont solutions du système
Le système a une infinité de solutions
Les droites sont confondues. Le système a une infinité de solutions.
• Confusion : Si deux équations sont multiples l'une de l'autre, les droites sont confondues
• Indétermination : Si les droites sont confondues, le système est indéterminé
• Graphique : Tous les points de la droite sont solutions
Équation d'une droite : Une droite passant par deux points distincts est unique et peut s'écrire sous la forme \(y = mx + p\).
Points donnés : \(A(1, 2)\) et \(B(3, 4)\)
\(m = \frac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \frac{4 - 2}{3 - 1} = \frac{2}{2} = 1\)
Utiliser le point \(A(1, 2)\) dans l'équation \(y = mx + p\)
\(2 = 1(1) + p \Rightarrow 2 = 1 + p \Rightarrow p = 1\)
\(y = x + 1\)
Pour \(B(3, 4)\) : \(y = 3 + 1 = 4\) ✓
Sur le graphique, la droite passe par les points (1, 2) et (3, 4)
L'équation de la droite passant par les points (1, 2) et (3, 4) est \(y = x + 1\).
• Coefficient directeur : \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
• Équation : \(y = mx + p\) où \(p\) est l'ordonnée à l'origine
• Vérification : Toujours tester les deux points sur l'équation obtenue
Point d'intersection : Le point où deux droites se croisent, solution du système formé par leurs équations.
Droite 1 : \(y = -x + 5\)
Droite 2 : \(y = 2x - 1\)
Coefficient directeur : -1, ordonnée à l'origine : 5
Points : (0, 5) et (5, 0)
Coefficient directeur : 2, ordonnée à l'origine : -1
Points : (0, -1) et (1, 1)
Sur le graphique, les droites se coupent approximativement au point (2, 3)
Cherchons l'intersection : \(-x + 5 = 2x - 1\)
\(-x - 2x = -1 - 5\)
\(-3x = -6\)
\(x = 2\)
\(y = -2 + 5 = 3\)
Le point d'intersection est exactement (2, 3)
Les droites se coupent au point de coordonnées (2, 3).
• Intersection : Résoudre le système formé par les équations des droites
• Graphique : Le point d'intersection est la solution du système
• Vérification : Comparer la solution graphique avec la solution algébrique
- Solution unique : Les droites sont sécantes en un point
- Aucune solution : Les droites sont strictement parallèles
- Infinité de solutions : Les droites sont confondues
- Calcul de pente : \(m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}\)
- Une équation linéaire à deux variables représente une droite dans le plan
- Un système de deux équations linéaires correspond à deux droites
- Le nombre de solutions dépend de la position relative des droites
- Les coefficients directeurs déterminent le parallélisme des droites
