Modèles linéaires simples
Introduction
Découvrez comment représenter des relations linéaires entre variables
Contexte et motivation
Pourquoi les modèles linéaires ?
Un entrepreneur vend des objets. Il observe que pour chaque objet vendu, il gagne 5€. Si on note x le nombre d'objets vendus et y le gain, alors y = 5x. C'est un modèle linéaire simple.
Comment modéliser cette relation ? Comment prédire le gain pour un nombre donné d'objets ? Comment analyser la relation entre les variables ?
Les modèles linéaires simples permettent de représenter des relations proportionnelles entre variables.
- Représenter des relations simples entre variables
- Prévoir des résultats futurs
- Identifier des tendances
- Optimiser des processus
- Comprendre des phénomènes physiques
Définition d'un modèle linéaire
Concept fondamental
Un modèle linéaire simple entre deux variables x et y est une relation de la forme :
Où :
- x est la variable indépendante (ou explicative)
- y est la variable dépendante (ou expliquée)
- a est le coefficient directeur (pente)
- b est l'ordonnée à l'origine
Le modèle est dit linéaire car la relation est une droite dans le plan (x, y).
- Si b = 0, on a une relation de proportionnalité : y = ax
- Si a = 0, la variable y est constante : y = b
- Si a > 0, la relation est croissante
- Si a < 0, la relation est décroissante
Exemple concret de modèle linéaire
Application numérique
Un magasin de location de voitures propose un tarif de base de 20€ plus 0.50€ par kilomètre parcouru.
Soit x le nombre de kilomètres parcourus et y le prix de la location.
1. Identifier la variable indépendante et la variable dépendante.
2. Écrire le modèle linéaire.
3. Calculer le prix pour 100 km.
4. Déterminer le nombre de km pour un prix de 50€.
2 Le modèle linéaire est : y = 0.50x + 20
3 Pour x = 100 km : y = 0.50×100 + 20 = 50 + 20 = 70€
4 Pour y = 50€ : 50 = 0.50x + 20 → 0.50x = 30 → x = 60 km
Représentation graphique
Graphique d'une fonction affine
Le graphique d'un modèle linéaire y = ax + b est une droite dans le plan (x, y).
- Le coefficient directeur a détermine la pente de la droite
- L'ordonnée à l'origine b détermine l'intersection avec l'axe des y
- Si a > 0, la droite monte (relation positive)
- Si a < 0, la droite descend (relation négative)
- Si a = 0, la droite est horizontale
Pour tracer la droite y = ax + b :
- Placer l'ordonnée à l'origine (0, b)
- Utiliser la pente a pour déterminer un autre point
- Tracer la droite passant par ces deux points
Exemple : y = 2x + 3, on place (0, 3) et (1, 5), puis on trace la droite.
Interprétation des coefficients
Sens des coefficients
Le coefficient directeur a indique la variation de y pour une variation unitaire de x.
Si a = 2, alors pour chaque unité de x, y augmente de 2 unités.
Si a = -1.5, alors pour chaque unité de x, y diminue de 1.5 unités.
Le coefficient a est aussi appelé taux de variation ou pente de la droite.
L'ordonnée à l'origine b est la valeur de y quand x = 0.
Elle représente la valeur de base ou le point de départ de la relation.
Dans le modèle de location de voiture y = 0.50x + 20, b = 20€ est le prix fixe indépendant du nombre de km.
Elle peut représenter un coût initial, une valeur de référence, ou un ajustement.
Applications concrètes
Utilisations pratiques
- 1 Économie (coût, revenu, profit)
- 2 Physique (relations proportionnelles)
- 3 Chimie (lois de proportionnalité)
- 4 Ingénierie (relations entre variables)
- 5 Marketing (analyse de comportement)
Un fabricant a un coût fixe de 1000€ et un coût variable de 5€ par unité produite. Le modèle linéaire est : Coût = 5x + 1000, où x est le nombre d'unités produites.
Le coefficient directeur a = 5€ représente le coût de fabrication par unité.
L'ordonnée à l'origine b = 1000€ représente le coût fixe indépendant de la production.
Ce modèle permet de prévoir les coûts pour une quantité donnée de production.
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise de transport propose un tarif qui dépend de la distance parcourue. Le tarif est composé d'un montant fixe de 15€ plus 0.80€ par kilomètre.
Soit d la distance parcourue (en km) et T le tarif (en €).
1. Écrire le modèle linéaire T = f(d).
2. Calculer le tarif pour une distance de 120 km.
3. Déterminer la distance parcourue pour un tarif de 63€.
4. Interpréter les coefficients du modèle.
5. Tracer le graphique du modèle.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Le tarif est composé d'un montant fixe de 15€ plus 0.80€ par kilomètre.
Donc : T = 0.80d + 15
Où a = 0.80 (coût par km) et b = 15 (coût fixe).
Pour d = 120 km : T = 0.80 × 120 + 15 = 96 + 15 = 111€
Pour T = 63€ : 63 = 0.80d + 15
0.80d = 63 - 15 = 48
d = 48 / 0.80 = 60 km
Suite de la solution
Correction détaillée (suite)
Dans le modèle T = 0.80d + 15 :
- Le coefficient a = 0.80€/km représente le coût par kilomètre parcouru
- Le coefficient b = 15€ représente le coût fixe, indépendant de la distance
- Le coefficient a est positif, ce qui signifie que plus la distance est grande, plus le tarif est élevé
- Le modèle est linéaire croissant
On trace la droite y = 0.80x + 15 dans le plan (d, T).
Deux points suffisent : (0, 15) et (100, 0.80×100 + 15 = 95).
La droite passe par le point (0, 15) et a une pente de 0.80.
Le graphique montre que le tarif augmente linéairement avec la distance.
Deuxième exercice
Problème complet
Un photographe facture ses services selon un modèle linéaire. Pour 2 heures de travail, il facture 150€. Pour 5 heures de travail, il facture 300€.
1. Déterminer le modèle linéaire T = f(h) où h est le nombre d'heures et T le tarif.
2. Calculer le tarif pour 3 heures de travail.
3. Déterminer le nombre d'heures pour un tarif de 225€.
4. Interpréter le coefficient directeur.
Solution du deuxième exercice
Correction détaillée
On connaît deux points : (2, 150) et (5, 300).
Le modèle est T = ah + b.
On a donc le système :
\(\begin{cases} 150 = 2a + b \\ 300 = 5a + b \end{cases}\)
Soustraction : (5a + b) - (2a + b) = 300 - 150 → 3a = 150 → a = 50
Donc : b = 150 - 2×50 = 50
Pour h = 3 : T = 50×3 + 50 = 150 + 50 = 200€
Pour T = 225€ : 225 = 50h + 50
50h = 225 - 50 = 175
h = 175 / 50 = 3.5 heures
Suite de la solution exercice 2
Correction détaillée (suite)
Dans le modèle T = 50h + 50, le coefficient directeur a = 50€/heure.
Cela signifie que pour chaque heure de travail supplémentaire, le photographe facture 50€ de plus.
C'est le tarif horaire du photographe.
L'ordonnée à l'origine b = 50€ représente un coût fixe, probablement des frais de déplacement ou une redevance initiale.
Le modèle est linéaire croissant avec un taux de variation constant de 50€ par heure.
Vérifions :
Pour h = 2 : T = 50×2 + 50 = 150€ ✓
Pour h = 5 : T = 50×5 + 50 = 300€ ✓
Le modèle est correctement déterminé.
Les coefficients ont une signification économique claire : a est le tarif horaire, b est le coût fixe.
Ce type de modèle est courant dans les services professionnels.
Modèles linéaires dans la science
Applications scientifiques
La loi de Hooke : F = kx (force proportionnelle à l'allongement)
La loi d'Ohm : U = RI (tension proportionnelle à l'intensité)
La loi de la vitesse uniforme : d = vt (distance proportionnelle au temps)
La loi de la dilatation thermique : L = L₀(1 + αt) (longueur fonction linéaire de la température)
La loi de Boyle-Mariotte : PV = constante (relation linéaire entre pression et volume)
La loi de concentration : C = n/V (concentration fonction linéaire du nombre de molécules)
Les relations de proportionnalité dans les réactions chimiques
Les modèles linéaires sont très utilisés en science car ils :
- Permettent des prédictions simples
- Facilitent l'analyse des relations entre variables
- Représentent des lois physiques fondamentales
- Sont faciles à interpréter
- Permettent de vérifier des hypothèses
Résumé
Points clés
Un modèle linéaire simple est une relation de la forme : y = ax + b
- a est le coefficient directeur (pente)
- b est l'ordonnée à l'origine
- x est la variable indépendante
- y est la variable dépendante
- a représente le taux de variation de y par rapport à x
- b représente la valeur de y quand x = 0
- Si a > 0, la relation est croissante
- Si a < 0, la relation est décroissante
- Économie (coût, revenu, profit)
- Sciences (lois de proportionnalité)
- Ingénierie (relations entre variables)
- Marketing (analyse de comportement)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences