Modèles Exponentiels | Mathématiques 1ère

1 Pour tous réels x et y : \( e^{x+y} = e^x \cdot e^y \)
2 Pour tous réels x et y : \( e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \)
3 Pour tout réel x et tout réel r : \( (e^x)^r = e^{rx} \)
4 \( e^0 = \) 1
5 Pour tout réel x : \( e^x > 0 \)

1 La dérivée de \( e^x \) est : \( \frac{d}{dx}(e^x) = e^x \)
2 La fonction exponentielle est strictement croissante sur ℝ
3 \( \lim_{x \to +\infty} e^x = +\infty \)
4 \( \lim_{x \to -\infty} e^x = 0 \)

La courbe représentative de la fonction exponentielle \( f(x) = e^x \) a les propriétés suivantes :

• 1 Elle passe par le point (0, 1) car \( e^0 = 1 \)
• 2 Elle est strictement croissante sur ℝ
• 3 Elle est toujours positive (au-dessus de l'axe des abscisses)
• 4 Elle admet une asymptote horizontale en -∞ (l'axe des abscisses)
• 5 Elle est convexe sur ℝ

Les modèles exponentiels sont utilisés pour décrire des phénomènes où la variation est proportionnelle à la quantité elle-même :

• 1 Croissance démographique : \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \) où k > 0
• 2 Propagation d'épidémies : au début d'une épidémie
• 3 Croissance des capitaux : intérêts composés
• 4 Évolution de populations biologiques : bactéries, cellules

• 1 Décroissance radioactive : \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \) où λ > 0
• 2 Refroidissement d'un corps : loi de Newton
• 3 Désintégration de médicaments dans le sang
• 4 Charge/décharge des condensateurs en électricité

L'équation différentielle \( y' = ay \) (où a est une constante réelle) a pour solution générale :

Où C est une constante réelle déterminée par la condition initiale.

Si on impose une condition initiale \( y(0) = y_0 \), alors :

Ce modèle est fondamental pour les phénomènes de croissance ou de décroissance exponentielle.

1 Le modèle est : \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \)
2 On sait que \( N_0 = 100 \) (population initiale)
3 Après 1 heure : \( N(1) = 2 \times 100 = 200 \)
4 Donc : \( 200 = 100 \cdot e^k \Rightarrow e^k = 2 \Rightarrow k = \ln(2) \approx 0.693 \)
5 Après 5 heures : \( N(5) = 100 \cdot e^{0.693 \times 5} = 100 \cdot e^{3.465} \approx 100 \times 32 = 3200 \)

1 Le modèle est : \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \)
2 On sait que \( N_0 = 100 \) g
3 La demi-vie est de 10 ans : \( N(10) = \frac{N_0}{2} = 50 \) g
4 Donc : \( 50 = 100 \cdot e^{-10\lambda} \Rightarrow e^{-10\lambda} = 0.5 \Rightarrow -10\lambda = \ln(0.5) \)
5 D'où : \( \lambda = \frac{-\ln(0.5)}{10} = \frac{\ln(2)}{10} \approx 0.0693 \)
6 Après 30 ans : \( N(30) = 100 \cdot e^{-0.0693 \times 30} = 100 \cdot e^{-2.079} \approx 100 \times 0.125 = 12.5 \) g

Pour tout réel a > 0 et a ≠ 1, la fonction exponentielle de base a est définie par :

On distingue deux cas :

• Si a > 1 : la fonction est strictement croissante
• Si 0 < a < 1 : la fonction est strictement décroissante

Les mêmes règles de calcul que pour la fonction exponentielle naturelle s'appliquent :

• \( a^{x+y} = a^x \cdot a^y \)
• \( a^{x-y} = \frac{a^x}{a^y} \)
• \( (a^x)^y = a^{xy} \)
• \( a^0 = 1 \)

La température initiale correspond à t = 0 :

Après 10 minutes (t = 10) :

Quand t tend vers +∞ :

La température tend vers la température ambiante (20°C).

Fonction : \( f(t) = at + b \)

• Croissance/décroissance constante
• Augmentation de a unités par unité de temps
• Représentation graphique : droite

Fonction : \( f(t) = N_0 \cdot e^{kt} \)

• Croissance/décroissance proportionnelle à la quantité actuelle
• Taux de variation constant
• Représentation graphique : courbe exponentielle

Soit \( f(x) = 3e^{2x} \)

En utilisant la règle de dérivation : \( \frac{d}{dx}(e^{u(x)}) = u'(x)e^{u(x)} \)

Maintenant, vérifions que \( f'(x) = 2f(x) \) :

Donc la propriété est vérifiée.

On cherche \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \)

Avec \( N_0 = 500 \) et sachant que la population double toutes les 3 heures :

\( N(3) = 2 \times 500 = 1000 \)

Donc : \( 1000 = 500 \cdot e^{3k} \Rightarrow e^{3k} = 2 \Rightarrow 3k = \ln(2) \)

La formule finale est :

• \( \exp(x) = e^x \) où e ≈ 2.71828...
• \( f'(x) = f(x) \) et \( f(0) = 1 \)
• Stricte croissance sur ℝ

• \( e^{x+y} = e^x \cdot e^y \)
• \( e^{x-y} = \frac{e^x}{e^y} \)
• \( (e^x)^r = e^{rx} \)
• \( e^x > 0 \) pour tout x

• Modèle de croissance exponentielle : \( N(t) = N_0 \cdot e^{kt} \) (k > 0)
• Modèle de décroissance exponentielle : \( N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t} \) (λ > 0)
• Équation différentielle : \( y' = ay \Rightarrow y(x) = C \cdot e^{ax} \)