Croissance exponentielle : Phénomène où une quantité est multipliée par un facteur constant à chaque unité de temps.
- Identifier la quantité initiale et le facteur de multiplication
- Écrire le modèle : f(t) = a·bᵗ
- Identifier la variable t (temps) et les paramètres a, b
- Calculer la valeur demandée
Population initiale : a = 100 bactéries
Facteur de multiplication : b = 2 (double chaque heure)
Temps : t = 5 heures
f(t) = a·bᵗ
f(t) = 100·2ᵗ
f(5) = 100·2⁵
f(5) = 100·32
f(5) = 3200
t = 0 : 100
t = 1 : 100×2 = 200
t = 2 : 200×2 = 400
t = 3 : 400×2 = 800
t = 4 : 800×2 = 1600
t = 5 : 1600×2 = 3200 ✓
Après 5 heures, la population de bactéries sera de 3200
Après 5 heures, il y aura 3200 bactéries.
• Modèle : f(t) = a·bᵗ pour une croissance exponentielle
• Paramètres : a = valeur initiale, b = facteur de multiplication
• Calcul : Effectuer les puissances correctement
Intérêts composés : Mécanisme où les intérêts générés produisent eux-mêmes des intérêts.
Capital initial : C₀ = 1000€
Taux annuel : t = 5% = 0.05
Temps : n = 3 ans
C(n) = C₀·(1 + t)ⁿ
C(n) = 1000·(1.05)ⁿ
C(3) = 1000·(1.05)³
C(3) = 1000·(1.05 × 1.05 × 1.05)
C(3) = 1000·1.157625
C(3) = 1157.63€ (arrondi au centime)
Année 1 : 1000 × 1.05 = 1050€
Année 2 : 1050 × 1.05 = 1102.50€
Année 3 : 1102.50 × 1.05 = 1157.63€ ✓
Le capital a augmenté de 157.63€ en 3 ans
Intérêts simples : 1000 × 0.05 × 3 = 150€
Intérêts composés : 157.63€
Gain supplémentaire : 7.63€
Le capital après 3 ans sera de 1157.63€.
• Formule : C(n) = C₀·(1 + t)ⁿ
• Calcul : Effectuer les puissances avec précision
• Différence : Les intérêts composés génèrent plus que les intérêts simples
Demi-vie : Durée nécessaire pour que la moitié d'une quantité radioactive se désintègre.
Masse initiale : m₀ = 100g
Demi-vie : T = 10 jours
Temps : t = 30 jours
Nombre de demi-vies = t/T = 30/10 = 3
m(t) = m₀·(1/2)^(t/T)
m(t) = 100·(1/2)^(t/10)
m(30) = 100·(1/2)^(30/10)
m(30) = 100·(1/2)³
m(30) = 100·(1/8)
m(30) = 12.5g
0 jours : 100g
10 jours : 100 × 1/2 = 50g
20 jours : 50 × 1/2 = 25g
30 jours : 25 × 1/2 = 12.5g ✓
Après 30 jours, il ne restera que 12.5g de la substance
Après 30 jours, il restera 12.5g de la substance radioactive.
• Modèle : m(t) = m₀·(1/2)^(t/T)
• Décroissance : Multiplication par un facteur inférieur à 1
• Calcul : (1/2)ⁿ = 1/2ⁿ
Équation exponentielle : Équation où l'inconnue apparaît en exposant.
3^(x+1) = 81
On cherche à exprimer 81 comme une puissance de 3
81 = 3⁴
3^(x+1) = 3⁴
Si aᵐ = aⁿ avec a > 0 et a ≠ 1, alors m = n
Donc : x + 1 = 4
x + 1 = 4
x = 4 - 1
x = 3
3^(3+1) = 3⁴ = 81 ✓
On peut aussi utiliser les logarithmes :
log(3^(x+1)) = log(81)
(x+1)·log(3) = log(81)
x+1 = log(81)/log(3) = log(3⁴)/log(3) = 4·log(3)/log(3) = 4
x = 3
La solution de l'équation 3^(x+1) = 81 est x = 3.
• Base commune : Exprimer les deux côtés avec la même base
• Égalité : Si aᵐ = aⁿ alors m = n
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation originale
Temps de doublement : Temps nécessaire pour qu'une quantité croissante exponentiellement double.
Taux de croissance : t = 2% = 0.02
Modèle : P(n) = P₀·(1.02)ⁿ
On cherche n tel que P(n) = 2P₀
2P₀ = P₀·(1.02)ⁿ
2P₀ = P₀·(1.02)ⁿ
2 = (1.02)ⁿ
ln(2) = ln((1.02)ⁿ)
ln(2) = n·ln(1.02)
n = ln(2)/ln(1.02)
ln(2) ≈ 0.6931
ln(1.02) ≈ 0.0198
n ≈ 0.6931/0.0198 ≈ 35
(1.02)³⁵ ≈ 2.00
Donc la population est bien doublée
La "règle du 70" dit que le temps de doublement ≈ 70/t (%)
Ici : 70/2 = 35 ans ✓
La population doublera approximativement en 35 ans.
• Modèle : P(n) = P₀·(1 + t)ⁿ
• Logarithmes : ln(aⁿ) = n·ln(a)
• Règle du 70 : Approximation utile pour les taux faibles
- Modélisation : Identifier la situation et écrire le modèle f(t) = a·bᵗ
- Résolution d'équations : Mettre les deux côtés avec la même base ou utiliser les logarithmes
- Calcul de taux : Convertir pourcentages en facteurs multiplicatifs
- Prédictions : Utiliser le modèle pour prédire des valeurs futures
- Une fonction exponentielle a un taux de variation proportionnel à sa valeur actuelle
- La croissance exponentielle dépasse toute croissance polynomiale à long terme
- Les équations exponentielles peuvent être résolues avec des logarithmes
- La règle du 70 fournit une approximation rapide du temps de doublement
