Équation linéaire : Équation de la forme ax + b = 0 avec a ≠ 0, qui admet une unique solution x = -b/a.
- Isoler le terme en x d'un côté de l'égalité
- Diviser par le coefficient de x
- Obtenir la solution
3x - 12 = 0
3x - 12 = 0
3x = 12
x = 12/3
x = 4
3(4) - 12 = 12 - 12 = 0 ✓
La solution de l'équation 3x - 12 = 0 est x = 4
La solution de l'équation 3x - 12 = 0 est x = 4.
• Équilibre : On peut ajouter ou soustraire le même nombre des deux côtés
• Division : On peut diviser les deux côtés par un nombre non nul
• Vérification : Toujours substituer la solution dans l'équation initiale
Fonction linéaire : Fonction de la forme f(x) = ax + b, où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
f(x) = 2x - 5
f(3) = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1
On cherche x tel que f(x) = 1
2x - 5 = 1
2x - 5 = 1
2x = 1 + 5
2x = 6
x = 3
f(3) = 2(3) - 5 = 6 - 5 = 1 ✓
Si x = 3, alors f(x) = 2(3) - 5 = 1 ✓
Le point (3, 1) appartient à la droite représentant f
f(3) = 1 et la solution de f(x) = 1 est x = 3.
• Évaluation : Remplacer x par la valeur donnée
• Résolution : Transformer l'équation pour isoler x
• Graphique : La fonction linéaire se représente par une droite
Modèle linéaire : Situation où la grandeur dépendante varie proportionnellement à la grandeur indépendante.
Coût fixe par jour : 30€
Coût variable par km : 0.20€
Jours : 5
Kilomètres : 250
Coût total = Coût fixe + Coût variable
Coût total = (30 × jours) + (0.20 × km)
Coût pour les jours : 30 × 5 = 150€
Coût pour les km : 0.20 × 250 = 50€
Coût total = 150 + 50 = 200€
150 + 50 = 200 ✓
Le coût total pour 5 jours et 250 km est de 200€
Si j = jours et k = kilomètres, alors C(j,k) = 30j + 0.20k
Le coût total pour 5 jours et 250 km est de 200€.
• Modélisation : Identifier les composantes fixes et variables
• Calcul : Appliquer le modèle avec les valeurs données
• Vérification : S'assurer que le résultat est plausible
Équation de droite : Pour deux points (x₁, y₁) et (x₂, y₂), la droite a pour équation y = ax + b où a est le coefficient directeur.
Point A(1, 3) et point B(4, 9)
a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁) = (9 - 3)/(4 - 1) = 6/3 = 2
Utiliser le point A(1, 3) dans y = ax + b
3 = 2(1) + b
3 = 2 + b
b = 1
y = 2x + 1
Pour B(4, 9) : y = 2(4) + 1 = 8 + 1 = 9 ✓
L'équation de la droite passant par (1, 3) et (4, 9) est y = 2x + 1
L'équation de la droite passant par les points (1, 3) et (4, 9) est y = 2x + 1.
• Coefficient directeur : a = (y₂ - y₁)/(x₂ - x₁)
• Équation : y = ax + b
• Vérification : Les deux points doivent satisfaire l'équation
Comparaison de modèles linéaires : Comparer deux fonctions linéaires pour déterminer à partir de quel seuil l'une devient plus avantageuse.
Forfait A : C_A(k) = 20 + 0.10k
Forfait B : C_B(k) = 15 + 0.15k
k = nombre de kilomètres
On cherche k tel que C_A(k) = C_B(k)
20 + 0.10k = 15 + 0.15k
20 + 0.10k = 15 + 0.15k
20 - 15 = 0.15k - 0.10k
5 = 0.05k
k = 5/0.05 = 100
Forfait A : pente = 0.10
Forfait B : pente = 0.15
Le forfait A a une pente plus faible
Au-dessus de 100 km, le forfait A devient plus avantageux
Car sa pente est plus faible (coût variable moindre)
Pour k = 100 : C_A(100) = 20 + 10 = 30€ et C_B(100) = 15 + 15 = 30€
Pour k = 150 : C_A(150) = 20 + 15 = 35€ et C_B(150) = 15 + 22.5 = 37.5€
Le forfait A est plus avantageux à partir de 100 kilomètres.
• Modélisation : Écrire les fonctions de coût
• Égalité : Trouver le point où les coûts sont égaux
• Comparaison : Analyser les pentes pour déterminer l'avantage
- Identification : Repérer les grandeurs en présence
- Relation : Déterminer comment les grandeurs sont liées
- Modèle : Écrire la relation sous forme d'équation linéaire
- Résolution : Utiliser les techniques algébriques appropriées
- Une fonction linéaire a une croissance constante
- La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite
- Le coefficient directeur mesure la pente de la droite
- Deux droites parallèles ont le même coefficient directeur
