Suite arithmétique : Suite (uₙ) telle que u_{n+1} = uₙ + r, où r est la raison.
- Identifier le premier terme u₀ et la raison r
- Appliquer la formule : uₙ = u₀ + nr
- Substituer les valeurs connues
On a u₀ = 3 et r = 5
Pour une suite arithmétique : uₙ = u₀ + nr
u₁₀ = u₀ + 10r
u₁₀ = 3 + 10 × 5
u₁₀ = 3 + 50
u₁₀ = 53
On peut vérifier : u₁ = 3 + 5 = 8, u₂ = 8 + 5 = 13, etc.
u₁₀ = 3 + 50 = 53 ✓
Le 11ème terme de la suite (u₀, u₁, ..., u₁₀) vaut 53
Le 10ème terme de la suite est u₁₀ = 53.
• Formule : uₙ = u₀ + nr pour une suite arithmétique
• Substitution : Remplacer les valeurs connues dans la formule
• Calcul : Effectuer les opérations dans le bon ordre
Suite géométrique : Suite (vₙ) telle que v_{n+1} = vₙ × q, où q est la raison.
On a v₀ = 2 et q = 3
Pour une suite géométrique : vₙ = v₀ × qⁿ
v₅ = v₀ × q⁵
v₅ = 2 × 3⁵
v₅ = 2 × 243
v₅ = 486
v₁ = 2 × 3 = 6
v₂ = 6 × 3 = 18
v₃ = 18 × 3 = 54
v₄ = 54 × 3 = 162
v₅ = 162 × 3 = 486 ✓
Chaque terme est multiplié par la raison pour obtenir le suivant
Le 5ème terme de la suite est v₅ = 486.
• Formule : vₙ = v₀ × qⁿ pour une suite géométrique
• Puissance : Calculer correctement les puissances
• Vérification : Calculer les premiers termes pour vérifier
Récurrence : Méthode de preuve pour les propriétés portant sur les entiers naturels.
Soit P(n) la propriété : "1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2"
On veut démontrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0
Vérifions P(0) : 1 + 2 + ... + 0 = 0 (somme vide)
Et 0(0+1)/2 = 0×1/2 = 0
Donc P(0) est vraie
Supposons que P(k) est vraie pour un certain entier k ≥ 0
Cela signifie : 1 + 2 + ... + k = k(k+1)/2
On veut montrer que P(k+1) est vraie, c'est-à-dire :
1 + 2 + ... + k + (k+1) = (k+1)(k+2)/2
1 + 2 + ... + k + (k+1) = [1 + 2 + ... + k] + (k+1)
= k(k+1)/2 + (k+1) (par hypothèse de récurrence)
= k(k+1)/2 + 2(k+1)/2
= (k(k+1) + 2(k+1))/2
= ((k+1)(k + 2))/2
= (k+1)(k+2)/2
On a prouvé l'initialisation et l'hérédité
Par le principe de récurrence, P(n) est vraie pour tout entier n ≥ 0
On a démontré par récurrence que pour tout entier n ≥ 0, 1 + 2 + ... + n = n(n+1)/2.
• Initialisation : Vérifier la propriété pour la valeur de départ
• Hypothèse : Supposer la propriété vraie au rang k
• Hérédité : Démontrer qu'elle est vraie au rang k+1
Parité : Propriétés des nombres pairs et impairs. Un nombre est pair s'il est divisible par 2.
On veut démontrer : "Pour tout entier n, n² + n est pair"
n² + n = n(n + 1)
Considérons deux cas : n est pair ou n est impair
Si n est pair, alors n = 2k pour un certain entier k
n(n+1) = 2k(2k+1) = 2k × (2k+1)
Donc n(n+1) est pair (multiple de 2)
Si n est impair, alors n = 2k+1 pour un certain entier k
n(n+1) = (2k+1)((2k+1)+1) = (2k+1)(2k+2)
= (2k+1) × 2(k+1) = 2(2k+1)(k+1)
Donc n(n+1) est pair (multiple de 2)
Dans tous les cas (n pair ou impair), n² + n est pair
Donc la proposition est vraie pour tout entier n
On peut aussi observer que n et n+1 sont deux entiers consécutifs
Donc l'un est pair et l'autre impair
Leur produit est donc pair
On a démontré que pour tout entier n, n² + n est pair.
• Factorisation : n² + n = n(n+1)
• Disjonction : Examinez les cas possibles
• Parité : Parmi deux entiers consécutifs, l'un est pair
Suite récurrente : Suite définie par une relation entre un terme et les précédents.
On a w₀ = 1 et w_{n+1} = 2wₙ + 1
w₀ = 1
w₁ = 2w₀ + 1 = 2×1 + 1 = 3
w₂ = 2w₁ + 1 = 2×3 + 1 = 7
w₃ = 2w₂ + 1 = 2×7 + 1 = 15
w₀ = 1 = 2¹ - 1
w₁ = 3 = 2² - 1
w₂ = 7 = 2³ - 1
w₃ = 15 = 2⁴ - 1
Il semble que wₙ = 2^{n+1} - 1
Soit P(n) : "wₙ = 2^{n+1} - 1"
Initialisation : Pour n = 0, w₀ = 1 et 2^{0+1} - 1 = 2¹ - 1 = 1
Donc P(0) est vraie
Supposons que P(k) est vraie : wₖ = 2^{k+1} - 1
Alors w_{k+1} = 2wₖ + 1 = 2(2^{k+1} - 1) + 1
= 2^{k+2} - 2 + 1 = 2^{k+2} - 1
Donc P(k+1) est vraie
Par récurrence, pour tout entier n ≥ 0, wₙ = 2^{n+1} - 1
w₁ = 3, w₂ = 7, w₃ = 15, et pour tout entier n ≥ 0, wₙ = 2^{n+1} - 1.
• Calcul : Appliquer la relation de récurrence pour calculer les termes
• Observation : Identifier des motifs dans les valeurs
• Récurrence : Démontrer la conjecture par récurrence
- Suites arithmétiques : uₙ = u₀ + nr
- Suites géométriques : vₙ = v₀ × qⁿ
- Récurrence : Initialisation et hérédité
- Disjonction des cas : Examinez toutes les possibilités
- Une suite arithmétique a une croissance linéaire
- Une suite géométrique a une croissance exponentielle
- La récurrence ne s'applique qu'aux propriétés des entiers naturels
- La somme des n premiers entiers est n(n+1)/2
