Preuve directe : Supposer la prémisse vraie et démontrer la conclusion par une suite d'arguments logiques.
- Supposer que la prémisse est vraie
- Développer des arguments logiques
- Arriver à la conclusion
- Conclure que l'implication est vraie
Supposons que n est un entier impair
Par définition, cela signifie qu'il existe un entier k tel que n = 2k + 1
n² = (2k + 1)² = (2k)² + 2(2k)(1) + 1²
n² = 4k² + 4k + 1
n² = 2(2k² + 2k) + 1
n² = 2(2k² + 2k) + 1
Donc n² est de la forme 2m + 1, où m = 2k² + 2k est un entier
Puisque n² = 2m + 1 pour un certain entier m, n² est impair par définition
On a montré que si n est impair, alors n² est impair
Donc la proposition est démontrée
On a démontré par preuve directe que si n est impair, alors n² est impair.
• Définition : Un entier est impair s'il est de la forme 2k + 1 pour un entier k
• Identité : Utilisation de l'identité remarquable (a + b)² = a² + 2ab + b²
• Structure : Montrer que le résultat est de la forme 2m + 1 pour un entier m
Contraposée : L'implication \(P \Rightarrow Q\) est logiquement équivalente à \(\neg Q \Rightarrow \neg P\).
On veut prouver : "Si n² est pair, alors n est pair"
Soit P : "n² est pair" et Q : "n est pair"
On veut prouver P ⇒ Q
La contraposée est : \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)
C'est-à-dire : "Si n n'est pas pair, alors n² n'est pas pair"
Ou encore : "Si n est impair, alors n² est impair"
Supposons que n n'est pas pair, c'est-à-dire que n est impair
Donc il existe un entier k tel que n = 2k + 1
n² = (2k + 1)² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1
n² = 2(2k² + 2k) + 1, donc n² est impair
Donc n² n'est pas pair
On a prouvé que si n est impair, alors n² est impair
Donc la contraposée est vraie
Par conséquent, la proposition originale est vraie
On a démontré par contraposée que si n² est pair, alors n est pair.
• Contraposée : \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)
• Équivalence : Prouver la contraposée équivaut à prouver l'original
• Logique : La contraposée est souvent plus facile à prouver que l'original
Raisonnement par l'absurde : Supposer la négation de la conclusion et aboutir à une contradiction.
Supposons par l'absurde que \(\sqrt{2}\) est rationnel
Alors il existe deux entiers p et q (avec q ≠ 0) tels que \(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\)
On peut supposer que la fraction \(\frac{p}{q}\) est irréductible (p et q sont premiers entre eux)
\(\sqrt{2} = \frac{p}{q}\) implique \(2 = \frac{p^2}{q^2}\)
Donc \(2q^2 = p^2\)
On a \(p^2 = 2q^2\), donc p² est pair
Par l'exercice précédent, si p² est pair, alors p est pair
Donc il existe un entier k tel que p = 2k
\(p^2 = (2k)^2 = 4k^2\)
Donc \(2q^2 = 4k^2\)
Donc \(q^2 = 2k^2\)
On a \(q^2 = 2k^2\), donc q² est pair
Par le même raisonnement, q est pair
On a montré que p est pair et q est pair
Donc p et q sont divisibles par 2
Cela contredit le fait que \(\frac{p}{q}\) est irréductible
Notre hypothèse de départ est fausse
Donc \(\sqrt{2}\) est irrationnel
On a démontré par l'absurde que \(\sqrt{2}\) est irrationnel.
• Contradiction : Aboutir à une affirmation fausse ou contraire à une vérité établie
• Irreductibilité : Supposer la fraction sous forme irréductible
• Logique : Si l'hypothèse conduit à une contradiction, elle est fausse
Analyse-synthèse : Trouver les conditions nécessaires (analyse), puis vérifier qu'elles sont suffisantes (synthèse).
Soit x un réel tel que x² = 4
Alors x² - 4 = 0
(x - 2)(x + 2) = 0
Donc x - 2 = 0 ou x + 2 = 0
Donc x = 2 ou x = -2
Vérifions que x = 2 satisfait l'équation : 2² = 4 ✓
Vérifions que x = -2 satisfait l'équation : (-2)² = 4 ✓
Si x² = 4, alors x = 2 ou x = -2
Donc les seules solutions possibles sont 2 et -2
Les valeurs 2 et -2 sont effectivement des solutions
L'ensemble des solutions est {-2, 2}
On a montré que toute solution doit être 2 ou -2 (nécessité)
On a montré que 2 et -2 sont effectivement des solutions (suffisance)
Les réels x tels que x² = 4 sont x = 2 et x = -2.
• Analyse : Trouver les conditions nécessaires en supposant la conclusion vraie
• Synthèse : Vérifier que les conditions trouvées sont suffisantes
• Équivalence : Utiliser la factorisation pour résoudre l'équation
Propriété du produit nul : Un produit est nul si et seulement si l'un des facteurs est nul.
On veut prouver : "Si xy = 0 alors x = 0 ou y = 0"
Soit P : "xy = 0" et Q : "x = 0 ou y = 0"
On veut prouver P ⇒ Q
La contraposée est : \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)
C'est-à-dire : "Si x ≠ 0 et y ≠ 0, alors xy ≠ 0"
Supposons que x ≠ 0 et y ≠ 0
Puisque x ≠ 0, x admet un inverse multiplicatif \(\frac{1}{x}\)
Puisque y ≠ 0, y admet un inverse multiplicatif \(\frac{1}{y}\)
Supposons par l'absurde que xy = 0
Alors (xy) × \(\frac{1}{x}\) × \(\frac{1}{y}\) = 0 × \(\frac{1}{x}\) × \(\frac{1}{y}\) = 0
Mais (xy) × \(\frac{1}{x}\) × \(\frac{1}{y}\) = (x × \(\frac{1}{x}\)) × (y × \(\frac{1}{y}\)) = 1 × 1 = 1
Donc on aurait 1 = 0, ce qui est absurde
Donc xy ≠ 0
On a prouvé que si x ≠ 0 et y ≠ 0, alors xy ≠ 0
Donc la contraposée est vraie
Par conséquent, la proposition originale est vraie
On a démontré par contraposée que si xy = 0 alors x = 0 ou y = 0.
• Contraposée : \(P \Rightarrow Q\) équivaut à \(\neg Q \Rightarrow \neg P\)
• Inverse : Utilisation des inverses multiplicatifs pour raisonner par l'absurde
• Propriété : Un produit de deux nombres non nuls est non nul
- Preuve directe : Supposer la prémisse et arriver à la conclusion
- Contraposée : Supposer la négation de la conclusion et arriver à la négation de la prémisse
- Raisonnement par l'absurde : Supposer la négation de la conclusion et arriver à une contradiction
- Analyse-synthèse : Trouver les conditions nécessaires, puis vérifier la suffisance
- Une preuve doit être rigoureuse et suivre une logique inattaquable
- Chaque étape d'une preuve doit être justifiée
- La contraposée est logiquement équivalente à l'implication originale
- La preuve par l'absurde repose sur le principe du tiers exclu
