Moyenne arithmétique : Somme des valeurs divisée par le nombre de valeurs.
- Identifier toutes les valeurs
- Calculer la somme de toutes les valeurs
- Diviser la somme par le nombre de valeurs
- Arrondir si nécessaire
Températures mensuelles : 2, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 23, 18, 12, 6, 3
Nombre de valeurs : n = 12
Somme = 2 + 4 + 8 + 12 + 16 + 20 + 24 + 23 + 18 + 12 + 6 + 3
Somme = 148
\(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i = \frac{\text{Somme des valeurs}}{n}\)
\(\bar{x} = \frac{148}{12} = 12.33°C\)
148 ÷ 12 = 12.333... ≈ 12.33
La température moyenne annuelle est de 12.33°C
Température minimale : 2°C (janvier)
Température maximale : 24°C (juillet)
Amplitude : 24 - 2 = 22°C
La température moyenne annuelle est de 12.33°C.
• Formule : \(\bar{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} x_i\)
• Calcul : Additionner toutes les valeurs puis diviser par le nombre de valeurs
• Interprétation : La moyenne représente une valeur centrale des données
Médiane : Valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales.
Mode : Valeur qui apparaît le plus fréquemment dans la série.
Valeurs brutes : 160, 165, 170, 175, 160, 165, 170, 175, 180, 165
Données ordonnées : 160, 160, 165, 165, 165, 170, 170, 175, 175, 180
Nombre de valeurs : n = 10 (pair)
Les positions centrales sont la 5ème et la 6ème valeur
5ème valeur : 165, 6ème valeur : 170
Médiane = (165 + 170) / 2 = 167.5 cm
Fréquences : 160(2), 165(3), 170(2), 175(2), 180(1)
La valeur 165 apparaît 3 fois, c'est la plus fréquente
Mode = 165 cm
Données ordonnées : 160, 160, 165, 165, 165, 170, 170, 175, 175, 180
Position 5 : 165, Position 6 : 170 ✓
165 apparaît 3 fois, plus que toute autre valeur ✓
50% des élèves mesurent moins de 167.5 cm
La taille la plus fréquente est 165 cm
Moyenne = (160×2 + 165×3 + 170×2 + 175×2 + 180×1) / 10 = 1685 / 10 = 168.5 cm
La médiane (167.5) est proche de la moyenne (168.5), ce qui indique une distribution assez symétrique
La médiane est 167.5 cm et le mode est 165 cm.
• Ordonnancement : Toujours trier les données avant de calculer la médiane
• Médiane : Pour n pair, moyenne des deux valeurs centrales
• Mode : Valeur la plus fréquente dans la série
Écart-type : Mesure de la dispersion des valeurs autour de la moyenne.
Notes : 8, 12, 15, 10, 14, 16, 9, 11, 13, 17
Nombre de valeurs : n = 10
\(\bar{x} = \frac{8 + 12 + 15 + 10 + 14 + 16 + 9 + 11 + 13 + 17}{10} = \frac{125}{10} = 12.5\)
\((8-12.5)^2 = (-4.5)^2 = 20.25\)
\((12-12.5)^2 = (-0.5)^2 = 0.25\)
\((15-12.5)^2 = (2.5)^2 = 6.25\)
\((10-12.5)^2 = (-2.5)^2 = 6.25\)
\((14-12.5)^2 = (1.5)^2 = 2.25\)
\((16-12.5)^2 = (3.5)^2 = 12.25\)
\((9-12.5)^2 = (-3.5)^2 = 12.25\)
\((11-12.5)^2 = (-1.5)^2 = 2.25\)
\((13-12.5)^2 = (0.5)^2 = 0.25\)
\((17-12.5)^2 = (4.5)^2 = 20.25\)
\(\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2\)
\(\sigma^2 = \frac{20.25 + 0.25 + 6.25 + 6.25 + 2.25 + 12.25 + 12.25 + 2.25 + 0.25 + 20.25}{10}\)
\(\sigma^2 = \frac{82.5}{10} = 8.25\)
\(\sigma = \sqrt{\sigma^2} = \sqrt{8.25} \approx 2.87\)
Les notes sont dispersées en moyenne de 2.87 points autour de la moyenne (12.5)
Un écart-type relativement faible indique que les notes sont plutôt regroupées autour de la moyenne
L'écart-type est d'environ 2.87 points. Cela signifie que les notes sont dispersées en moyenne de 2.87 points autour de la moyenne de 12.5.
• Formule : \(\sigma = \sqrt{\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2}\)
• Calcul : Calculer les écarts à la moyenne, les élever au carré, faire la moyenne, prendre la racine
• Interprétation : Plus l'écart-type est grand, plus les données sont dispersées
Modèle affine : Relation de la forme y = ax + b entre deux variables.
Années : 2018, 2019, 2020, 2021, 2022
Population (milliers) : 45, 47, 49, 51, 53
Soit x l'année écoulée depuis 2018
Données : (0, 45), (1, 47), (2, 49), (3, 51), (4, 53)
Entre chaque année, la population augmente de 2 milliers
Augmentation constante ⇒ modèle linéaire
Valeur initiale (x=0) : y = 45
Coefficient directeur : a = 2 (augmentation de 2 par unité)
Équation : y = 2x + 45
Pour x = 0 : y = 2(0) + 45 = 45 ✓
Pour x = 1 : y = 2(1) + 45 = 47 ✓
Pour x = 2 : y = 2(2) + 45 = 49 ✓
Pour x = 3 : y = 2(3) + 45 = 51 ✓
Pour x = 4 : y = 2(4) + 45 = 53 ✓
y = 2(5) + 45 = 10 + 45 = 55
La population prévue pour 2023 est de 55 milliers
Le modèle affine est y = 2x + 45, où x est le nombre d'années depuis 2018 et y est la population en milliers.
• Modélisation : Identifier une tendance linéaire dans les données
• Paramètres : Déterminer la pente (a) et l'ordonnée à l'origine (b)
• Vérification : S'assurer que le modèle passe par tous les points
Taux d'évolution moyen : Taux constant qui permettrait d'atteindre le même résultat final sur la période.
Valeur initiale : 100€ en 2020
Valeur finale : 115€ en 2022
Période : 2 ans
Taux global = \(\frac{115 - 100}{100} = \frac{15}{100} = 0.15 = 15\%\)
Soit t le taux moyen annuel
Alors : \(100 \times (1 + t)^2 = 115\)
\((1 + t)^2 = \frac{115}{100} = 1.15\)
\(1 + t = \sqrt{1.15} \approx 1.0724\)
\(t \approx 0.0724 = 7.24\%\)
100 × (1.0724)² = 100 × 1.1500 = 115.00 ✓
De 2022 à 2024, il s'écoule 2 ans
Prix en 2024 = 115 × (1.0724)² = 115 × 1.15 = 132.25€
De 2020 à 2024, il s'écoule 4 ans
Prix en 2024 = 100 × (1.0724)⁴ = 100 × 1.3225 = 132.25€
Le taux d'évolution annuel moyen est d'environ 7.24%. Le prix prévu en 2024 est de 132.25€.
• Taux global : \(\frac{V_F - V_I}{V_I}\)
• Taux moyen : \((1 + t)^n = \frac{V_F}{V_I}\)
• Prédiction : Appliquer le taux moyen sur la période souhaitée
- Description : Calculer les indicateurs statistiques (moyenne, médiane, écart-type)
- Visualisation : Utiliser des graphiques pour représenter les données
- Modélisation : Trouver des relations mathématiques entre variables
- Prévision : Utiliser les modèles pour prédire des valeurs futures
- La qualité des conclusions dépend de la qualité des données
- Les données doivent être représentatives de la population étudiée
- Les modèles ne sont que des approximations de la réalité
- Il est essentiel de valider les hypothèses du modèle choisi
