Utilisation de Données Réelles | Mathématiques 1ère
Introduction
Découvrez comment utiliser des données réelles pour modéliser des situations mathématiques et résoudre des problèmes concrets
Définition des données réelles
Qu'est-ce qu'une donnée réelle ?
Une donnée réelle est une information recueillie à partir d'observations, d'expériences ou d'études menées dans le monde réel. Ces données peuvent être :
- Quantitatives : mesures numériques (taille, poids, température, etc.)
- Qualitatives : catégories ou attributs (couleur, type, etc.)
Collecte de données
Méthodes de collecte
2 Sondages/Enquêtes : questionnaire distribué
3 Expérimentation : manipulation contrôlée
4 Comptage : recensement systématique
2 Études antérieures : recherches académiques
3 Données historiques : archives, relevés passés
4 Documents officiels : rapports gouvernementaux
Organisation des données
Présentation des données
Exemple : Tailles d'élèves dans une classe
| Élève | Taille (cm) |
|---|---|
| Alice | 165 |
| Bob | 172 |
| Clara | 158 |
Lorsque les données sont nombreuses, on les regroupe en classes :
| Classe (cm) | Effectif | Fréquence |
|---|---|---|
| [150 ; 160[ | 5 | 0.25 |
| [160 ; 170[ | 12 | 0.60 |
| [170 ; 180[ | 3 | 0.15 |
Visualisation des données
Représentations graphiques
Idéal pour représenter des effectifs ou des fréquences de valeurs distinctes.
Utilisé pour représenter des données continues regroupées en classes.
Traitement statistique
Paramètres statistiques
La moyenne est la somme de toutes les valeurs divisée par le nombre de valeurs :
Pour des données regroupées en classes, on utilise les centres de classes.
La médiane est la valeur qui partage la série ordonnée en deux parties égales.
Elle est particulièrement utile pour les données asymétriques.
L'écart-type mesure la dispersion des valeurs autour de la moyenne :
Un écart-type élevé indique une grande variabilité des données.
Corrélation et ajustement
Nuage de points et ajustement
Lorsqu'on étudie la relation entre deux variables, on représente les couples (xi, yi) dans un repère.
On observe visuellement la tendance et la force de la relation.
On détermine la droite qui minimise la somme des carrés des écarts verticaux :
Où a est le coefficient directeur et b l'ordonnée à l'origine.
Exemple concret - Températures
Analyse des températures journalières
Voici les températures maximales relevées durant une semaine de janvier :
| Jour | Température (°C) |
|---|---|
| Lundi | -2 |
| Mardi | -1 |
| Mercredi | 1 |
| Jeudi | 3 |
| Vendredi | 5 |
| Samedi | 4 |
| Dimanche | 2 |
Moyenne : (-2 + (-1) + 1 + 3 + 5 + 4 + 2) / 7 = 12/7 ≈ 1.7°C
Médiane : Ordonner les valeurs : -2, -1, 1, 2, 3, 4, 5 → Médiane = 2°C
Étendue : 5 - (-2) = 7°C
Exemple concret - Scores scolaires
Analyse des résultats d'un examen
Voici les notes obtenues par 20 élèves à un examen de mathématiques (sur 20) :
12, 15, 18, 10, 14, 16, 13, 17, 11, 15, 14, 16, 12, 13, 15, 17, 14, 16, 13, 15
| Classe | Centre | Effectif | Fréquence |
|---|---|---|---|
| [10 ; 12[ | 11 | 2 | 0.10 |
| [12 ; 14[ | 13 | 6 | 0.30 |
| [14 ; 16[ | 15 | 7 | 0.35 |
| [16 ; 18[ | 17 | 5 | 0.25 |
Moyenne pondérée : (2×11 + 6×13 + 7×15 + 5×17) / 20 = 284/20 = 14.2
Médiane : Position centrale (10e et 11e valeurs) = 14 et 15 → Médiane = 14.5
Exercice d'application
Problème complet
Une entreprise a relevé la consommation électrique (en kWh) de 30 machines identiques pendant une journée :
240, 255, 230, 265, 245, 250, 260, 245, 255, 250, 240, 255, 265, 245, 250, 260, 245, 255, 250, 240, 255, 265, 245, 250, 260, 245, 255, 250, 240, 255
1. Regroupez les données en classes d'amplitude 10, en commençant par [230 ; 240[.
2. Calculez la moyenne de cette série.
3. Tracez l'histogramme correspondant.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
| Classe (kWh) | Centre | Effectif | Fréquence |
|---|---|---|---|
| [230 ; 240[ | 235 | 1 | 1/30 |
| [240 ; 250[ | 245 | 10 | 10/30 |
| [250 ; 260[ | 255 | 14 | 14/30 |
| [260 ; 270[ | 265 | 5 | 5/30 |
La consommation moyenne est d'environ 252.7 kWh.
Régression linéaire
Ajustement affine
Le coefficient de corrélation linéaire r mesure la force et le sens de la liaison entre deux variables X et Y :
La valeur de r est comprise entre -1 et 1.
La droite de régression de y en x a pour équation :
Où a est le coefficient de régression : \( a = \frac{\text{cov}(X,Y)}{\sigma_X^2} \)
Exercices supplémentaires
Pratiquez davantage
Voici les tailles (en cm) de 15 élèves : 165, 170, 168, 172, 160, 175, 168, 170, 165, 172, 168, 170, 165, 172, 170. Calculez la moyenne, la médiane et l'écart-type de cette série.
On a relevé le nombre d'heures d'étude hebdomadaires et la note obtenue à un examen pour 10 élèves. Peut-on tracer une droite d'ajustement ?
Construisez un tableau croisé pour deux variables qualitatives : sexe et préférence musicale, à partir de données fictives.
Solutions des exercices
Corrections détaillées
Données ordonnées : 160, 165, 165, 165, 168, 168, 168, 170, 170, 170, 170, 172, 172, 172, 175
Moyenne : (160 + 3×165 + 3×168 + 4×170 + 3×172 + 175) / 15 = 2553/15 = 170.2 cm
Médiane : 8e valeur = 170 cm
Variance : σ² = Σ(xi - x̄)²/n = 28.56
Écart-type : σ = √28.56 ≈ 5.34 cm
Pour tracer une droite d'ajustement, on utilise la méthode des moindres carrés.
On calcule d'abord les paramètres :
- Moyenne des x : x̄
- Moyenne des y : ȳ
- Covariance : cov(X,Y)
- Variance de X : V(X)
Puis on déduit l'équation de la droite : y - ȳ = a(x - x̄)
Résumé
Points clés
- Collecte des données réelles
- Organisation et tri des données
- Représentation graphique
- Calcul des paramètres statistiques
- Modélisation et interprétation
- Position : moyenne, médiane, mode
- Dispersion : écart-type, variance, étendue
- Forme : skewness, kurtosis
- Diagramme de dispersion
- Coefficient de corrélation
- Droite de régression
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences