Définition du Vecteur Vitesse | Physique-Chimie Seconde
Introduction au Vecteur Vitesse
Découvrez comment représenter et analyser le mouvement d'un objet en physique
Définition du vecteur vitesse
Qu'est-ce que le vecteur vitesse ?
Le vecteur vitesse est une grandeur vectorielle qui caractérise la rapidité et la direction du mouvement d'un objet.
Il est défini comme la dérivée du vecteur position par rapport au temps.
Le vecteur vitesse a trois caractéristiques : une direction, un sens, et une norme (intensité).
- Direction : la direction de la tangente à la trajectoire
- Sens : le sens du mouvement
- Norme : la valeur de la vitesse (en m/s)
- Point d'application : le point matériel considéré
Propriétés du vecteur vitesse
Caractéristiques du vecteur vitesse
La direction du vecteur vitesse est tangente à la trajectoire au point considéré.
Pour une trajectoire rectiligne, la direction est constante.
Pour une trajectoire curviligne, la direction change continuellement.
Le sens du vecteur vitesse est le sens du mouvement.
Il peut être positif ou négatif selon l'orientation du repère.
Le sens change si le mouvement s'inverse.
La norme du vecteur vitesse est la vitesse scalaire.
Elle s'exprime en mètres par seconde (m/s).
Elle peut être constante (mouvement uniforme) ou variable (mouvement non uniforme).
Représentation du vecteur vitesse
Représentation graphique
Le vecteur vitesse se note : ⃗v = dx/dt ⃗i + dy/dt ⃗j + dz/dt ⃗k
Ou : ⃗v = vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k
Où vx, vy, vz sont les composantes du vecteur vitesse.
Le vecteur vitesse est représenté par une flèche :
- L'origine de la flèche est le point considéré
- La direction de la flèche est tangente à la trajectoire
- Le sens de la flèche est le sens du mouvement
- La longueur de la flèche est proportionnelle à la norme du vecteur
Calcul de la vitesse
Méthodes de calcul
La vitesse moyenne entre deux points A et B est :
Où ⃗AB est le vecteur déplacement et Δt le temps écoulé.
La vitesse instantanée est la dérivée du vecteur position :
Elle est tangente à la trajectoire au point considéré.
La norme du vecteur vitesse est :
Où vx, vy, vz sont les composantes du vecteur vitesse.
Exemple de calcul
Application pratique
Soit un point M de coordonnées : x(t) = 3t + 2, y(t) = t² - 1, z(t) = 0
Les composantes du vecteur vitesse sont :
- vx = dx/dt = 3 m/s
- vy = dy/dt = 2t m/s
- vz = dz/dt = 0 m/s
Le vecteur vitesse est : ⃗v = 3⃗i + 2t⃗j + 0⃗k
À t = 2 s :
- vx = 3 m/s
- vy = 2×2 = 4 m/s
- vz = 0 m/s
Exercice 1 : Calcul de vecteur vitesse
Application du calcul vectoriel
Un point M se déplace selon les équations horaires : x(t) = 2t, y(t) = t² + 1, z(t) = 0 (en mètres et secondes).
1. Déterminez les composantes du vecteur vitesse ⃗v(t).
2. Calculez la norme du vecteur vitesse à l'instant t = 3 s.
3. Quelle est la direction du vecteur vitesse à t = 3 s ?
4. Quelle est la vitesse moyenne entre t = 0 s et t = 3 s ?
Solution exercice 1
Correction détaillée
Pour trouver les composantes du vecteur vitesse, on dérive les équations horaires :
- vx = dx/dt = d(2t)/dt = 2 m/s
- vy = dy/dt = d(t² + 1)/dt = 2t m/s
- vz = dz/dt = d(0)/dt = 0 m/s
Le vecteur vitesse est : ⃗v(t) = 2⃗i + 2t⃗j + 0⃗k
À t = 3 s :
- vx = 2 m/s
- vy = 2×3 = 6 m/s
- vz = 0 m/s
La norme du vecteur vitesse est 6,32 m/s.
À t = 3 s, le vecteur vitesse est ⃗v(3) = 2⃗i + 6⃗j.
La direction est donnée par l'angle α par rapport à l'axe x :
Le vecteur vitesse fait un angle de 71,6° avec l'axe x.
Position à t = 0 s : M(0) = (0, 1, 0)
Position à t = 3 s : M(3) = (6, 10, 0)
Vecteur déplacement : ⃗MM'(3) = (6, 9, 0)
La vitesse moyenne est ⃗v_moy = 2⃗i + 3⃗j.
Exercice 2 : Représentation graphique
Application de la représentation vectorielle
Un point M se déplace sur une trajectoire circulaire de rayon R = 5 m avec une vitesse angulaire ω = 2 rad/s.
1. Exprimez les coordonnées x(t) et y(t) du point M.
2. Déterminez les composantes du vecteur vitesse ⃗v(t).
3. Calculez la norme du vecteur vitesse.
4. Montrez que le vecteur vitesse est tangent à la trajectoire.
Solution exercice 2
Correction détaillée
Pour un mouvement circulaire uniforme de rayon R = 5 m et vitesse angulaire ω = 2 rad/s :
- x(t) = R cos(ωt) = 5 cos(2t)
- y(t) = R sin(ωt) = 5 sin(2t)
Les coordonnées sont : x(t) = 5 cos(2t), y(t) = 5 sin(2t)
On dérive les coordonnées par rapport au temps :
- vx = dx/dt = d(5 cos(2t))/dt = -10 sin(2t)
- vy = dy/dt = d(5 sin(2t))/dt = 10 cos(2t)
Le vecteur vitesse est : ⃗v(t) = -10 sin(2t)⃗i + 10 cos(2t)⃗j
La norme du vecteur vitesse est constante et égale à 10 m/s.
Le vecteur position est : ⃗OM = 5 cos(2t)⃗i + 5 sin(2t)⃗j
Le vecteur vitesse est : ⃗v(t) = -10 sin(2t)⃗i + 10 cos(2t)⃗j
Produit scalaire : ⃗OM · ⃗v(t) = 5 cos(2t) × (-10 sin(2t)) + 5 sin(2t) × 10 cos(2t)
Le produit scalaire est nul, donc le vecteur vitesse est orthogonal au vecteur position, ce qui signifie qu'il est tangent à la trajectoire circulaire. ✅
Exercice 3 : Mouvement dans le plan
Application dans un plan
Un point M se déplace dans le plan (x, y) selon les équations : x(t) = 4 cos(πt) et y(t) = 4 sin(πt).
1. Quelle est la nature de la trajectoire ?
2. Déterminez les composantes du vecteur vitesse ⃗v(t).
3. Calculez la norme du vecteur vitesse à t = 1 s.
4. Montrez que la vitesse est constante et calculez sa valeur.
Solution exercice 3
Correction détaillée
Pour déterminer la nature de la trajectoire, on élimine le temps :
x² + y² = (4 cos(πt))² + (4 sin(πt))² = 16 cos²(πt) + 16 sin²(πt) = 16(cos²(πt) + sin²(πt)) = 16
La trajectoire est un cercle de rayon R = 4 m centré à l'origine.
On dérive les équations horaires :
- vx = dx/dt = d(4 cos(πt))/dt = -4π sin(πt)
- vy = dy/dt = d(4 sin(πt))/dt = 4π cos(πt)
Le vecteur vitesse est : ⃗v(t) = -4π sin(πt)⃗i + 4π cos(πt)⃗j
À t = 1 s :
- vx(1) = -4π sin(π) = -4π × 0 = 0 m/s
- vy(1) = 4π cos(π) = 4π × (-1) = -4π m/s
La norme du vecteur vitesse à t = 1 s est 4π ≈ 12,57 m/s.
Calculons la norme du vecteur vitesse à un instant quelconque :
La norme du vecteur vitesse est constante et égale à 4π ≈ 12,57 m/s. Le mouvement est circulaire uniforme.
Résumé
Points clés
- Dérivée du vecteur position par rapport au temps
- Caractérisé par une direction, un sens et une norme
- Direction : tangente à la trajectoire
- Sens : sens du mouvement
- Norme : vitesse scalaire (en m/s)
- Vecteur vitesse instantané : ⃗v(t) = d⃗OM/dt
- Composantes : ⃗v(t) = vx⃗i + vy⃗j + vz⃗k
- Norme : ||⃗v(t)|| = √(vx² + vy² + vz²)
- Vitesse moyenne : ⃗v_moy = Δ⃗r/Δt
- Mouvement rectiligne uniforme : ⃗v constant
- Mouvement circulaire uniforme : ||⃗v|| constant, ⃗v ⊥ ⃗OM
- Mouvement uniformément varié : ||⃗v|| varie linéairement
Conclusion
Félicitations !
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