Calculer des mesures de tendance centrale
Introduction
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Définition des mesures de tendance centrale
Qu'est-ce qu'une mesure de tendance centrale ?
Une mesure de tendance centrale est un indicateur statistique qui résume un ensemble de données en identifiant la valeur centrale ou la plus représentative de la distribution.
Elle permet de synthétiser les données en un seul chiffre significatif.
La moyenne arithmétique
Calcul de la moyenne
La moyenne arithmétique est le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs.
Où xi sont les valeurs et n le nombre total de valeurs.
Notes d'un élève : 12, 15, 10, 14, 13
La moyenne est de 12.8 sur 20.
La médiane
Calcul de la médiane
La médiane est la valeur qui sépare la distribution en deux parties égales.
50% des valeurs sont inférieures à la médiane, 50% sont supérieures.
- 1 Ranger les valeurs par ordre croissant
- 2 Trouver la valeur centrale
- 3 Si nombre pair de valeurs, prendre la moyenne des deux centrales
La médiane est résistante aux valeurs extrêmes.
Le mode
Calcul du mode
Le mode est la valeur la plus fréquente dans une série.
C'est la valeur qui apparaît le plus souvent.
Notes obtenues : 10, 12, 12, 14, 14, 14, 16
Le mode est 14 car il apparaît 3 fois.
Il peut y avoir plusieurs modes (multimodal).
Exemple de comparaison
Comparaison des mesures
Salaires dans une entreprise (en €) : 2000, 2200, 2300, 2400, 2500, 2600, 2700, 2800, 3000, 10000
Calculons les trois mesures :
Moyenne : (2000+2200+...+10000)/10 = 3450 €
Médiane : (2500+2600)/2 = 2550 €
Mode : pas de valeur répétée (pas de mode)
2 La médiane est plus représentative
3 La médiane résiste aux valeurs extrêmes
Chaque mesure a ses avantages selon le contexte.
Exercice d'application
Situation-problème
Voici les notes obtenues par un groupe d'élèves : 12, 15, 10, 14, 13, 15, 11, 14, 13, 12
1. Calculez la moyenne.
2. Déterminez la médiane.
3. Trouvez le mode.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
Notes : 12, 15, 10, 14, 13, 15, 11, 14, 13, 12
La moyenne est de 12.9 sur 20.
Tri des valeurs : 10, 11, 12, 12, 13, 13, 14, 14, 15, 15
Nombre de valeurs : 10 (pair)
La médiane est de 13.
Fréquences :
- 10 : 1 fois
- 11 : 1 fois
- 12 : 2 fois
- 13 : 2 fois
- 14 : 2 fois
- 15 : 2 fois
Il y a plusieurs modes : 12, 13, 14, 15 (distribution multimodale)
Autre exercice
Situation d'analyse
Voici les âges des élèves d'une classe : 15, 16, 15, 14, 17, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 17
1. Quelle est la moyenne d'âge ?
2. Quelle est la médiane ?
3. Quel est le mode ?
Solution deuxième exercice
Correction détaillée
Âges : 15, 16, 15, 14, 17, 15, 16, 14, 15, 16, 15, 17
La moyenne d'âge est de 15.42 ans.
Tri des valeurs : 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 17, 17
Nombre de valeurs : 12 (pair)
La médiane est de 15 ans.
Fréquences :
- 14 : 2 fois
- 15 : 5 fois
- 16 : 3 fois
- 17 : 2 fois
Le mode est 15 ans (apparaît 5 fois).
Résumé
Points clés
- Quotient de la somme des valeurs par le nombre
- Sensible aux valeurs extrêmes
- Calculée avec Σxi/n
- Valeur centrale de la distribution
- Non influencée par les extrêmes
- Divise la série en deux parties égales
- Valeur la plus fréquente
- Peut être multimodal
- Utile pour les données catégorielles
Conclusion
Félicitations !
Continuez à analyser les données avec rigueur