Voici comment se présente une translation dans le plan :

La translation conserve les longueurs, c'est-à-dire que si \(A'\) et \(B'\) sont les images respectives de \(A\) et \(B\) par une translation, alors :

La translation conserve les mesures des angles, donc si deux droites se coupent en un angle \(\theta\), leurs images par translation se coupent aussi en un angle \(\theta\).

Si deux droites sont parallèles, leurs images par translation sont aussi parallèles.

1 Soit \(\vec{u}\) le vecteur de translation donné par ses coordonnées ou par deux points \(A\) et \(B\) tels que \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\)

2 Soit \(M\) le point à translater

3 Le point \(M'\) image de \(M\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) est tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\)
4 On peut construire \(M'\) en reportant le vecteur \(\vec{u}\) à partir de \(M\)

1 Calcul du vecteur \(\vec{u}\) :
2 Calcul de l'image \(M'\) de \(M(1; 1)\) :
3 Donc \(M'(4; 5)\) est l'image de \(M(1; 1)\) par la translation de vecteur \(\vec{u}(3; 4)\)
4 Vérification : \(\overrightarrow{MM'} = (4-1; 5-1) = (3; 4) = \vec{u}\) ✓

Pour translater une figure, on applique la translation à chacun de ses sommets :

• 1 Identifier tous les sommets de la figure
• 2 Appliquer la translation à chaque sommet
• 3 Relier les nouveaux points dans le même ordre

• 1 La figure translatée est superposable à la figure initiale (isométrique)
• 2 Les côtés correspondants sont parallèles et de même longueur
• 3 Les angles sont conservés
• 4 L'aire de la figure est conservée

Soit \(t_{\vec{u}}\) la translation de vecteur \(\vec{u}(a; b)\). Si \(M(x; y)\) est un point du plan, alors son image \(M'(x'; y')\) par cette translation a pour coordonnées :

1 Soit le vecteur \(\vec{u}(2; -3)\)
2 Soit le point \(P(4; 5)\)
3 L'image \(P'(x'; y')\) de \(P\) par la translation de vecteur \(\vec{u}\) est :
4 Donc \(P'(6; 2)\)

La composée de deux translations de vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est une translation de vecteur \(\vec{u} + \vec{v}\).

1 Soit \(t_{\vec{u}}\) la translation de vecteur \(\vec{u}(2; 3)\)
2 Soit \(t_{\vec{v}}\) la translation de vecteur \(\vec{v}(-1; 4)\)
3 Alors \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}}\) est la translation de vecteur :
4 Cette composition est commutative : \(t_{\vec{v}} \circ t_{\vec{u}} = t_{\vec{u}} \circ t_{\vec{v}}\)

Contrairement à la symétrie centrale, la translation ne change pas l'orientation des figures :

• 1 La translation préserve l'orientation (figure identique mais déplacée)
• 2 La symétrie centrale inverse l'orientation (figure retournée)
• 3 La translation n'a pas de point invariant (aucun point fixe)

La translation est une transformation plus simple que la rotation car elle ne modifie pas l'orientation des figures. Elle est souvent utilisée comme base pour comprendre d'autres transformations.

Les motifs répétitifs dans les décorations, les pavages, les frises décoratives sont basés sur des translations.

Le mouvement rectiligne uniforme peut être modélisé comme une translation continue dans le temps.

Les translations sont utilisées pour déplacer des objets dans les programmes de dessin, les jeux vidéo et les applications 3D.

Les carreaux de sol, les motifs de papier peint, les structures cristallines utilisent des translations pour créer des motifs répétitifs.

\(\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4-1; 6-2) = (3; 4)\)

La translation de vecteur \(\vec{u}(3; 4)\) transforme \(M(x; y)\) en \(M'(x+3; y+4)\).

1 Image de A(1; 2) : A'(1+3; 2+4) = A'(4; 6)
2 Image de B(4; 6) : B'(4+3; 6+4) = B'(7; 10)
3 Image de C(3; 1) : C'(3+3; 1+4) = C'(6; 5)

La translation est une transformation qui conserve les distances et les angles, donc elle conserve aussi les aires. Ainsi, les triangles ABC et A'B'C' ont la même aire.

La translation de vecteur \(\vec{u}\) est la transformation qui associe à chaque point \(M\) du plan le point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'} = \vec{u}\).

• Conserve les distances (isométrie)
• Conserve les angles
• Conserve le parallélisme
• Conserve les aires
• N'a aucun point invariant

Translation de vecteur \(\vec{u}(a; b)\) : \(M(x; y) \mapsto M'(x+a; y+b)\)