Somme de vecteurs – règle du parallélogramme
Introduction
Découvrez la méthode graphique pour additionner des vecteurs
Définition de la somme de vecteurs
Qu'est-ce que la somme de vecteurs ?
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le vecteur noté \(\vec{u} + \vec{v}\) obtenu par la règle du parallélogramme ou par la relation de Chasles.
Lorsque l'on ajoute deux vecteurs, on combine leurs effets. Cela revient à effectuer deux déplacements successifs dans les directions et sens des vecteurs.
Règle du parallélogramme
La méthode du parallélogramme
Soient deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) ayant une origine commune \(O\). Pour construire leur somme :
- 1 On trace les deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) à partir d'une même origine \(O\)
- 2 On complète le parallélogramme en traçant les côtés opposés
- 3 La diagonale du parallélogramme issue de \(O\) est le vecteur somme \(\vec{u} + \vec{v}\)
Si \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{OC}\) où \(OACB\) est un parallélogramme.
Propriétés de la somme de vecteurs
Propriétés essentielles
L'addition des vecteurs est commutative, ce qui signifie que l'ordre des vecteurs n'affecte pas le résultat :
L'addition des vecteurs est associative :
Le vecteur nul \(\vec{0}\) est l'élément neutre de l'addition :
Pour tout vecteur \(\vec{u}\), il existe un vecteur opposé \(-\vec{u}\) tel que :
Construction pas à pas
Méthode de construction
2 On place les deux vecteurs à partir d'une même origine \(O\)
4 On trace les côtés parallèles pour compléter le parallélogramme
6 Cela donne \(\vec{u} + \vec{v}\)
Exemple de somme de vecteurs
Application pratique
Soient les vecteurs \(\vec{u}(3; 2)\) et \(\vec{v}(1; 4)\). Calculer leur somme \(\vec{u} + \vec{v}\).
En plaçant les deux vecteurs à partir d'une même origine et en construisant le parallélogramme, la diagonale issue de l'origine est le vecteur \((4; 6)\).
3 Vérification : \(\|\vec{u} + \vec{v}\| = \sqrt{4^2 + 6^2} = \sqrt{16 + 36} = \sqrt{52}\)Cas particuliers
Situations spéciales
Si \(\vec{v} = -\vec{u}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\).
Graphiquement, cela correspond à un parallélogramme aplati en un segment.
Si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires (alignés), le parallélogramme est dégénéré.
La somme est simplement la somme algébrique des normes si les vecteurs sont de même sens,
ou la différence si les vecteurs sont de sens opposé.
Relation avec la relation de Chasles
Lien avec la relation de Chasles
La relation de Chasles permet de décomposer un vecteur en somme de deux vecteurs :
Cette relation est équivalente à la somme de vecteurs par la règle du parallélogramme.
2 Par exemple : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)
3 Cela correspond à la somme de deux vecteurs consécutifs
4 La règle du parallélogramme est utile pour des vecteurs partant d'une même origine
Applications concrètes
Utilisations dans la vie courante
En physique, les forces s'additionnent selon la règle du parallélogramme. Lorsque plusieurs forces s'appliquent à un objet, la force résultante est leur somme vectorielle.
En navigation maritime ou aérienne, la vitesse résultante d'un véhicule est la somme vectorielle de sa vitesse propre et du vecteur vitesse du vent ou du courant.
Les transformations géométriques dans les logiciels de dessin et les jeux vidéo utilisent l'addition de vecteurs pour combiner des déplacements.
Un objet suspendu par deux câbles subit trois forces : son poids et les tensions des câbles. La somme vectorielle de ces forces est nulle à l'équilibre.
Exercice d'application
Problème complet
On considère les points \(A(1; 2)\), \(B(4; 6)\), \(C(3; 1)\) et \(D(6; 5)\) dans un repère orthonormé.
1. Calculer les coordonnées des vecteurs \(\vec{u} = \overrightarrow{AB}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{AC}\).
2. Construire le parallélogramme ABEC et déterminer les coordonnées de E.
3. Vérifier que \(\overrightarrow{AE} = \vec{u} + \vec{v}\).
4. Comparer avec la méthode de la relation de Chasles.
Solution de l'exercice
Correction détaillée
\(\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4-1; 6-2) = (3; 4)\)
\(\vec{v} = \overrightarrow{AC} = (x_C - x_A; y_C - y_A) = (3-1; 1-2) = (2; -1)\)
2 Donc \(\overrightarrow{AE} = (3; 4) + (2; -1) = (5; 3)\)
3 Si A(1; 2) et \(\overrightarrow{AE} = (5; 3)\), alors E(1+5; 2+3) = E(6; 5)
On peut aussi utiliser la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BE}\)
Mais dans le parallélogramme ABEC, \(\overrightarrow{BE} = \overrightarrow{AC}\), donc :
\(\overrightarrow{AE} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = \vec{u} + \vec{v}\)
Ce qui confirme notre résultat.
Résumé
Points clés
La somme de deux vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est obtenue par la règle du parallélogramme ou la relation de Chasles.
Soient \(\vec{u} = \overrightarrow{OA}\) et \(\vec{v} = \overrightarrow{OB}\), alors \(\vec{u} + \vec{v} = \overrightarrow{OC}\) où OACB est un parallélogramme.
- Commutativité : \(\vec{u} + \vec{v} = \vec{v} + \vec{u}\)
- Associativité : \((\vec{u} + \vec{v}) + \vec{w} = \vec{u} + (\vec{v} + \vec{w})\)
- Élément neutre : \(\vec{u} + \vec{0} = \vec{u}\)
- Vecteur opposé : \(\vec{u} + (-\vec{u}) = \vec{0}\)
Conclusion
Félicitations !
Continuez à pratiquer pour renforcer vos compétences