La multiplication par un réel affecte trois aspects d'un vecteur :

• La norme (longueur)
• Le sens (direction positive ou négative)
• La direction (ligne d'action)

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) :

Le produit d'un vecteur par 0 est toujours le vecteur nul.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) :

Le produit d'un vecteur par 1 est le vecteur lui-même.

Pour tout vecteur \(\vec{u}\) :

Le produit d'un vecteur par -1 est le vecteur opposé.

Pour tous réels \(k\) et \(l\), et tout vecteur \(\vec{u}\) :

Le vecteur \(k\vec{u}\) a la même direction et le même sens que \(\vec{u}\).
Sa norme est multipliée par \(k\) : \(\|k\vec{u}\| = k\|\vec{u}\|\)

Le vecteur \(k\vec{u}\) a la même direction que \(\vec{u}\) mais de sens opposé.
Sa norme est multipliée par \(|k|\) : \(\|k\vec{u}\| = |k|\|\vec{u}\|\)

Le vecteur \(k\vec{u} = 0\vec{u} = \vec{0}\) est le vecteur nul.
Il n'a ni direction ni sens particulier.

1 \(2\vec{u} = 2(2; 3) = (2 \times 2; 2 \times 3) = (4; 6)\)
2 \(-3\vec{u} = -3(2; 3) = (-3 \times 2; -3 \times 3) = (-6; -9)\)
3 \(\frac{1}{2}\vec{u} = \frac{1}{2}(2; 3) = (\frac{1}{2} \times 2; \frac{1}{2} \times 3) = (1; \frac{3}{2})\)

Pour tout réel \(k\) et tous vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) :

On peut multiplier la somme ou multiplier chaque vecteur séparément.

Pour tous réels \(k\) et \(l\), et tout vecteur \(\vec{u}\) :

On peut additionner les coefficients ou multiplier séparément puis additionner.

Le milieu \(I\) du segment \([AB]\) est tel que :

Ou encore : \(\overrightarrow{OI} = \overrightarrow{OA} + \frac{1}{2}\overrightarrow{AB}\)

Les barycentres s'expriment souvent à l'aide de multiplications par des réels.
Par exemple, le barycentre de \((A, 2)\) et \((B, 3)\) est le point \(G\) tel que :

Pour tout réel \(k\) et tout vecteur \(\vec{u}\) :

La norme du vecteur est multipliée par la valeur absolue du coefficient.

1 Soit \(\vec{u}(3; 4)\), alors \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
2 Soit \(k = 2\), alors \(2\vec{u} = (6; 8)\) et \(\|2\vec{u}\| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
3 On vérifie : \(\|2\vec{u}\| = |2| \cdot \|\vec{u}\| = 2 \times 5 = 10\) ✓
4 Pour \(k = -2\) : \(\|-2\vec{u}\| = |-2| \cdot \|\vec{u}\| = 2 \times 5 = 10\) ✓

En physique, les forces peuvent être multipliées par des coefficients pour représenter des variations d'intensité. Par exemple, doubler une force revient à multiplier le vecteur force par 2.

Les transformations géométriques dans les logiciels de dessin utilisent la multiplication par des réels pour agrandir ou réduire des objets vectoriels.

Les vecteurs de production peuvent être multipliés par des coefficients pour modéliser des variations d'échelle de production.

Un architecte peut utiliser la multiplication par un réel pour agrandir un plan architectural. Multiplier toutes les dimensions par 2 double la taille du bâtiment.

\(\vec{u} = \overrightarrow{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) = (4-1; 6-2) = (3; 4)\)

1 \(2\vec{u} = 2(3; 4) = (6; 8)\)
2 \(-\frac{1}{2}\vec{u} = -\frac{1}{2}(3; 4) = (-\frac{3}{2}; -2)\)
3 \(3\vec{u} = 3(3; 4) = (9; 12)\)

1 \(\|\vec{u}\| = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)
2 \(\|2\vec{u}\| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10\)
3 Vérification : \(|2| \cdot \|\vec{u}\| = 2 \times 5 = 10\) ✓
4 \(\|-\frac{1}{2}\vec{u}\| = \sqrt{(-\frac{3}{2})^2 + (-2)^2} = \sqrt{\frac{9}{4} + 4} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}\)
5 Vérification : \(|-\frac{1}{2}| \cdot \|\vec{u}\| = \frac{1}{2} \times 5 = \frac{5}{2}\) ✓

Le produit \(k\vec{u}\) d'un vecteur \(\vec{u}\) par un réel \(k\) est un vecteur :

• Ayant la même direction que \(\vec{u}\)
• De sens identique si \(k > 0\), de sens opposé si \(k < 0\)
• De norme égale à \(|k| \cdot \|\vec{u}\|\)

• \(0\vec{u} = \vec{0}\)
• \(1\vec{u} = \vec{u}\)
• \((-1)\vec{u} = -\vec{u}\)
• \(k(\vec{u} + \vec{v}) = k\vec{u} + k\vec{v}\)
• \((k + l)\vec{u} = k\vec{u} + l\vec{u}\)

\(\|k\vec{u}\| = |k| \cdot \|\vec{u}\|\)