La relation de Chasles exprime que pour aller de A à C, on peut passer par un point intermédiaire B. Le vecteur résultant est la somme des vecteurs intermédiaires.

La relation de Chasles permet de démontrer que :\n

\nLe vecteur de A vers B est l'opposé du vecteur de B vers A.

En utilisant la relation de Chasles avec un point identique :\n

\nLe vecteur d'un point vers lui-même est le vecteur nul.

La relation de Chasles peut s'étendre à plusieurs points :\n

Soient trois points A, B et C. Considérons les vecteurs \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BC}\).

1. 1 Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) représente le déplacement de A vers B
2. 2 Le vecteur \(\overrightarrow{BC}\) représente le déplacement de B vers C
3. 3 Effectuer successivement ces deux déplacements revient à effectuer le déplacement de A vers C
4. 4 Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\)

Soient A(x_A, y_A), B(x_B, y_B) et C(x_C, y_C).

Pour simplifier \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA}\) :

La somme des vecteurs formant un triangle fermé est nulle.

Parfois, il est utile d'insérer un point I entre A et B :\n

Cela permet de réexprimer un vecteur en fonction d'autres vecteurs connus.

1 \(\overrightarrow{AB} = (4-1; 6-2) = (3; 4)\)
2 \(\overrightarrow{BC} = (3-4; 1-6) = (-1; -5)\)
3 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3; 4) + (-1; -5) = (2; -1)\)
4 \(\overrightarrow{AC} = (3-1; 1-2) = (2; -1)\)
5 Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ✓

I est le milieu de [AB] si et seulement si \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \vec{0}\).

En effet, par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IB} = \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{IA} + \overrightarrow{AB}\).

Si I est le milieu, alors \(\overrightarrow{AB} = 2\overrightarrow{AI} = -2\overrightarrow{IA}\), donc :

La relation de Chasles est essentielle pour manipuler les expressions vectorielles dans les problèmes de barycentres.

Par exemple, pour montrer que G est le barycentre de (A,a) et (B,b) :

Erreur fréquente : penser que \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{CD} = \overrightarrow{AD}\) si B=C.

Ce n'est correct que si B=C, auquel cas : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\).

Ne pas oublier que \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\).

On peut donc réécrire des expressions en changeant l'ordre des points en changeant le signe.

En navigation, la relation de Chasles s'applique aux déplacements. Si un navire va de A à B puis de B à C, le déplacement total est égal au déplacement direct de A à C.

En physique, les vecteurs déplacement obéissent à la relation de Chasles. Un objet qui se déplace de A à B puis de B à C a subi un déplacement total équivalent à un déplacement direct de A à C.

Les transformations géométriques dans les logiciels utilisent la relation de Chasles pour combiner des translations successives.

Si vous allez du musée A à la tour B, puis de la tour B au château C, votre déplacement total est équivalent à un déplacement direct du musée A au château C.

1 \(\overrightarrow{AB} = (5-2; 4-1) = (3; 3)\)
2 \(\overrightarrow{BC} = (3-5; 6-4) = (-2; 2)\)
3 \(\overrightarrow{AC} = (3-2; 6-1) = (1; 5)\)

1 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = (3; 3) + (-2; 2) = (1; 5)\)
2 Or \(\overrightarrow{AC} = (1; 5)\)
3 Donc \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) ✓

1 \(\overrightarrow{AD} = (0-2; 3-1) = (-2; 2)\)
2 \(\overrightarrow{DC} = (3-0; 6-3) = (3; 3)\)
3 \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = (-2; 2) + (3; 3) = (1; 5)\)
4 Donc \(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{DC} = \overrightarrow{AC}\) ✓

1 \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA}\)
2 Par la relation de Chasles : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} = \overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{DA} = \overrightarrow{CA}\)
3 Donc : \(\overrightarrow{AC} + \overrightarrow{CA} = \overrightarrow{AC} + (-\overrightarrow{AC}) = \vec{0}\)

Pour trois points A, B et C quelconques :

• \(\overrightarrow{AB} = -\overrightarrow{BA}\)
• \(\overrightarrow{AA} = \vec{0}\)
• Généralisation : \(\overrightarrow{A_1A_2} + \overrightarrow{A_2A_3} + ... + \overrightarrow{A_{n-1}A_n} = \overrightarrow{A_1A_n}\)

• Simplification de sommes de vecteurs
• Caractérisation du milieu d'un segment
• Résolution de problèmes de barycentres
• Preuves géométriques